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 où / désigne une variable auxiliaire, o(t) l'intégrale générale de l'équation 

 linéaire du second ordre 



(i-!»)f£ = 4*ç. 



qui se ramène à l'équation de la série hypergéométrique. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un problème d'Analyse qui se rattache 

 aux équations de la Dynamique. Note de M. R. Liouville, présentée 

 par M. Darboux. 



« Quand le mouvement d'un point ou d'un système matériel dépend 

 seulement de deux variables, on sait obtenir tous les cas où il existe, avec 

 l'intégrale des forces vives, une autre intégrale du second degré à l'égard 

 des vitesses. Si le mouvement dépend de trois paramètres, la question 

 présente plus de difficultés et l'on rencontre des résultats bien diffé- 

 rents. 



» En profitant d'une remarque faite par M. Darboux, il est permis de 

 supposer que la fonction des forces est réduite à une constante. Soit 

 alors 



* = *(%}+?($)'+?($)''. 



la force vive du système matériel, rapporté à des coordonnées convenables, 

 et cherchons à choisir pour les fonctions a, (3, y des expressions telles que 

 les équations différentielles du mouvement puissent être déduites, soit de 

 la forme quadratique précédente, soit d'une seconde forme, où entrent en 



général les produits — - ~^-, • ■ • 



» Ce problème diffère en un point essentiel de celui qui se présenterait 

 si les paramètres x n'étaient qu'au nombre de deux. Dans ce cas, en effet, 

 l'équation différentielle des trajectoires est aussi celle des lignes géodési- 

 ques sur les surfaces qui admettent un élément linéaire commun 



( 2 ) e dx\ -+- ij dx, dx 2 -+- g dxi . 



» Cela étant, je représente par à 2 le déterminant eg -/', par A(s), 

 A (s), A (s) trois expressions linéaires et du second ordre en s, qui 



