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 dépendent uniquement de l'équation des trajectoires ('). Pourvu que 

 l'élément (2) ne soit point celui d'une sphère, la mesure k de la courbure 

 en un point des surfaces auxquelles il appartient est donnée par l'une 

 quelconque des formules 



(3) à(s~*) =-«**"*, a'(jt *)=/**"*, A"($r*)=-gk?r ji 



ou par celle-ci 



(6) A ( 8~*) A"(?P j - A' 2 (&"*) = *»**, 



qui en est une conséquence évidente. Il suffit donc de connaître S pour 

 déterminer k et, par ce moyen, e, /, g, quand l'équation des géodésiques 

 est donnée. L'exception signalée pour les surfaces à courbure constante a 

 lieu quand A, A', A" s'évanouissent à la fois. 



» Il en est autrement quand les paramètres;» sont au nombre de trois : 

 outre une exception semblable à la précédente et que l'on rencontre si 

 l'expression y x-f/.e', 4- ^ dx\ -;- y 2 dx\ représente la distance des points 

 infiniment voisins dans l'espace rapporté à des coordonnées orthogonales, 

 il existe des cas où, les équations des trajectoires étant données, il ne suf- 

 fit pas de connaître le discriminant <5 2 de la forme (1) pour en conclure 

 cette forme même. C'est dire que l'on peut choisir a, (3, y de telle manière 

 qu'une seconde forme, de même discriminant, corresponde aux mêmes 

 trajectoires. 



» Tous les cas de cette espèce sont donnés par les relations 



. w, d$ do dy d<? d$ dy 



y dx 3 dxî ' p àx» ~ dx 3 ' dx x dx x 



jointes à l'une des suivantes 



/ dy. . da 



l cos<p - Q -, — — sincp — ; — — o, 



) r ?dx, r yd.r 3 



j . dy. dy 



I sincp F —, — . - coso — : — = o. 

 T [idx 2 ' ydx 3 



» L'expression de T est alors réductible à lune de celles-ci, par un choix 

 (' ) Joui nal de l'École Polytechnique, LIX C Cahier, p. i^. 



