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» J'écrirai l'équation différentielle sous la forme suivante 



dx dy dz 

 x y z = o, 

 I, M N 



L, M, N étant trois polynômes entiers, homogènes et de degré m en r, y 

 et z. Le nombre m s'appellera la dimension de l'équation. 

 » Si l'intégrale générale est algébrique, elle s'écrira 



/-+- C<p = o, 



C étant une constante arbitraire, et / et <p étant deux: polynômes homo- 

 gènes d'ordre p en x, y et z. J'appellerai remarquables les valeurs de C pour 

 lesquelles le polynôme /+ Crp n'est pas irréductible. Si l'intégrale géné- 

 rale algébrique a été mise sous sa forme la plus simple, ce que nous sup- 

 poserons, le nombre des valeurs remarquables est fini. 



» Le problème de l'intégration algébrique des équations différentielles 

 serait résolu si l'on avait, dans tous les cas, une limite supérieure du 

 nombre p. 



» Les points singuliers de l'équation différentielle sont donnés par les 



équations 



L _ M __ N 

 x~ y " n 



Ils sont au nombre de m 2 -+- m -t- 1 ; nous les supposerons tous distincts. 



» Soient alors x , y , z un de ces points singuliers; dans le voisinage de 

 ce point, l'intégrale générale peut se mettre sous la forme 



X^X^const., 



S étant une constante, et X, et X 2 étant deux séries ordonnées suivant les 

 puissances de ~r> ~ r ~ et «annulant au point singulier. 



» Il v a quelques cas d'exception; s'ils se présentaient, on serait cer- 

 tain que l'équation n'est pas intégrable algébriquement; on en serait cer- 

 tain également si, pour un des points singuliers, l'exposant S n'était pas 

 réel et commensurable. 



» Supposons donc que S soit réel et commensurable; nous appellerons 

 nœuds les points pour lesquels cet exposant est positif, cols ceux pour les- 

 quels il est négatif. 



