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» Nous poserons S = - pour les nœuds, S = — - pour les cols, [j. et v 



étant deux entiers premiers entre eux. 



» J'envisage un nœud et je suppose que la courbe 



/+C ? = o 



ait en ce nœud X branches distinctes; ce nœud sera d'ailleurs, en général, 

 un point singulier pour chacune de ces branches. 

 » Je démontre que l'on a 



p- = s X 2 p, (m -t- i)p = S X([a -+- v ), 



les sommations du second membre devant être étendues à tous les nœuds. 



» M. Painlevé a posé le problème suivant : Reconnaître si l'intégrale gé- 

 nérale de l'équation différentielle est une courbe algébrique de genre donné. 

 et il a énoncé un certain nombre de remarquables propositions qui peu- 

 vent aider à trouver la solution, au moins dans certains cas particuliers. 



» Je trouve, en appelant q le genre, 



= 1 + S - ( u. H- v) ■ 1 ; 



cette formule contient la solution du problème de M. Painlevé toutes les 

 fois que m >■ l\. 



» Considérons une valeur remarquable de C et supposons que/+ Csp 

 ne se réduise pas à une puissance d'un polynôme irréductible; je démontre 

 que la courbe/-!- Cep = o va alors passer par un col. 



» Je montre encore que le nombre total des valeurs remarquables ne 

 peut dépasser le nombre des cols de plus de deux unités. 



» Voici quelques autres résultats : 



» Si tous les nœuds ont pour exposant S = + 1 , le nombre de ces nœuds 



. , , ( m -I- 2 ) 2 

 est au moins ceal a -. 



& 4 



» Si S = -+- 1 pour tous les nœuds et que S = — 1 pour tous les cols, le 



, . , 1 . (m -t- 2) 2 

 nombre des nœuds est précisément égal a 7 



» Si, pour tous les cols, on a S = — 1, on a la formule 

 a.,x. 2 (m -+- 2) =p(<x-, + «2). 

 a, et a 2 étant deux entiers premiers entre eux. 



