I 77* I 



analyse MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles linéaires. 

 Note de M. E. Vessiot, présentée par M. Picard. 



« Dans une Note des Comptes rendus (i883) cl. dans un Mémoire des 

 Annales de Toulouse (1887 ), M. Picard a établi, à l'égard des équations 

 différentielles linéaires, un théorème analogue au théorème fondamental 

 de Galois sur les équations algébriques. Cette proposition peut être com- 

 plétée et servir ainsi de fondement à une théorie de l'intégration des équa- 

 tions linéaires semblable à la théorie de Galois. 



» Soient x.. x 2 , .. x n des fonctions indéterminées d'une variable /; 

 elles forment un système fondamental d'intégrales d'une équation linéaire 



d" ./' d"-'.r 



(0 dF+P'Hï^- -Pn*=0. 



Nous désignons, pour abréger, par R ( r , . . ., x n ) une fonction rationnelle 

 de t, de x. , . ., x n et leurs dérivées, et nous considérons les diverses 

 fonctions qui s'en déduisent par les transformations linéaires' et homo- 

 gènes enx, .r„. 



» On sait, d'après un théorème de M. Appell, cpie si R admet toutes ces 



transformations, elle s'exprime rationnellement au moyen de /, de », , p„ 



et leurs dérivées. En général, R admet seulement un certain groupe (algé- 

 brique) de ces transformations ayant, par exemple, p = n~ — s paramètres, 

 c'est-à-dire admet un groupe de p transformations infinitésimales linéaires 

 et homogènes. Alors R est intégrale d'une équation différentielle algébrique 

 d'ordre s, à coefficients rationnels en t, en /;,. . .., p n et leurs dérivées. 

 Cela résulte du théorème suivant, qui se déduit facilement de la théorie des 

 groupes de M. Lie. 



» Théorème I. — ,SÏ l'on effectue dans une fonction $(.r, x n ) la 



transformation générale d'un groupe à r paramètres en x, , . . . , x n , /u fonction 

 obtenue dépend de r — p paramètres essentiels, si $ admet précisément p trans- 

 formations infinitésimales du groupe. 



» Soit maintenant S(x { , . . ., x n ) une autre fonction de la même nature 

 que R. La théorie de M. Lie sur les invariants différentiels conduit à un 

 théorème cjui correspond au théorème de Lagrange, dans la théorie des 

 substitutions. 



» Théorème II. — Si S admet toutes les transformations infinitésimales de 



