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 R , elle s'exprime algébriquement au moyen de t, de p t , . . . , p„, R et de feu/s 

 dérivées. 



» On peul aussi établir une autre proposition, qui complète la précé- 

 dente : 



» Théorème II bis. — Si S admet toutes les transformations finies (linéaires 

 et homogènes') que R admet, elle s'exprime rationnellement au moyen de 

 de p, . . . , p n , Re/ de leurs dérivées. 



» Enfin, si S admet seulement p' des transformations infinitésimales 

 de R, elle dépend, en vertu du théorème I, d'une équation différentielle 

 algébrique d'ordre p — p', dont les coefficients sont rationnels en /, 

 p t , ..., p n , R et leurs dérivées. Le cas où les transformations infinitési- 

 males de R que S admet sont au nombre de p — i et forment un sous- 

 groupe invariant du groupe de R offre, pour la suite, un intérêt spécial. 

 L'équation précédente est alors du premier ordre et s'intègre par qua- 

 dratures. 



» Supposons maintenant que l'équation (i ) soit une équation particu- 

 lière donnée; alors les théorèmes II et II bis conduisent aux deux théorèmes 

 suivants, analogues au théorème fondamental de la théorie de Galois. 



» Théorème III. — A toute équation linéaire ( i ) correspond un groupe T de 

 transformations infinitésimales linéaires et homogènes, tels que : i° toute 

 /onction R qui s'exprime algébriquement au moyen de t, de p K , . . ., p n (des 

 fondions adjointes, s'il y en a ) et de leurs dérivées, admet le groupe Y ; 

 2° toute fonction R qui admet ce groupe s' exprime algébriquement en fonction 

 des mêmes cléments. 



» Théorème III bis. — A toute équation linéaire (i) correspond un groupe G 

 de transformations finies linéaires et homogènes, tels que : i° toute fonction R 

 qui s'exprime rationnellement (toujours au moyen des éléments précédents 

 admet le groupe G ; 2° toute fonction R admettant le groupe G s'exprime ra- 

 tionnellement (en fonction des mêmes éléments). 



» Le groupe G est celui que M. Picard a nommé le groupe de transfor- 

 ions de l'équation, T est le plus grand groupe de transformations infi- 

 nitésimales contenu dans G. M. Picard avait déjà démontré la première 

 partie du théorème précédent. 



» Les théorèmes sur la réduction du groupe T ou G par l'adjonction 

 d'intégrales d'équations auxiliaires sont analogues aux théorèmes connus 

 de la théorie de Galois. Combinés avec les remarques précédentes, ils 

 duisent aux résultats suivants : 



) Théorème IV. - Pour que l'équation ( i ; soit intégrable par quadratures, 



