( 7»o ) 

 il faut et il suffit que le groupe Y soit un groupe intégrable, c'est-à-dire con- 

 ti une un sous-groupe invariant à un paramètre de miins, celui-ci de même, et 



ainsi de suite. 



» Corollaire. — Une équation linéaire d'ordre supérieur au premier n'est 



pas en général intégrable par quadratures. 



» On peut donner à l'énoncé précédent une autre forme, analogue à 

 un théorème de Galois sur les équations algébriques de degré premier. 



» Théorème VI. — il étant un invariant rationnel du groupe 



df df df df df df v df df 



pour que l'équation ( ; ) soit intégrable par quadratures, il faut et il suffit que 

 l'équation d'ordre — — — dont dépend il ait une intégrale rationnelle. 



» Dans le cas du deuxième ordre il — -~ et on retombe sur un théo- 

 rème connu de Liouville. 



» Plus généralement, la connaissance du groupe Y ou G permet de 

 réduire l'intégration de l'équation (i) à celle d'une suite d'équations plus 

 simples. 



» Ajoutons enfin que la théorie précédente s'étend, dans ses points 



;entiels, à toutes les équations différentielles qui jouissent,. comme les 

 é -nations linéaires, de cette propriété que leur intégrale générale s'ex- 

 prime, par une formule connue, en fonction d'un certain nombre d'inté- 

 grales particulières. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe de nombres complexes. Noie 

 de M. André Markoff. Extrait d'une Lettre adressée à M. Hermite. 



« Je considère les nombres entiers algébriques qui dépendent de y/A, 

 A étant un nombre entier ordinaire. 



» Par les théories de MM. Dedekind et Zolotareff, la décomposition en 

 facteurs des nombres entiers qui dépendent de la racine d'une équation 

 algébrique se réduit à celle des nombres entiers premiers ordinaires. 



» En supposant A = a 2 b, où le produit ab n'est divisible par aucun 

 carré, et en décomposant en facteurs premiers idéaux (ou existants) a, 

 p, y les nombres p premiers ordinaires, je parviens aux résultats suivants : 



» i" d est un diviseur de b : n = a 3 , où a est le facteur commun de pet 



de vÂ; 



