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 la courbure totale par — -iê et j'emploierai pour les paramètres différen- 

 tiels les notations qu'on trouvera définies dans la Théorie des surfaces de 

 M. Darboux (Livre VII, Chap. I). 



» Quand l'invariant e~°A0 ne se réduit pas à une constante, on déduit 

 de l'équation (i) que les deux invariants 



e(<?- 9 A6, G) (e- fl A6) 



A(e- f) A0) ' A(e-»A6) 



sont des fonctions de e _6 A9, et que ces conditions sont suffisantes. 



» Quand l'invariant e _0 A9 se réduit à une constante, on déduit de l'équa- 

 tion (i) que les deux invariants 



e(e-° A.,o,m A,(e- e A 2 e) 



A(e-°A 2 0) i((r°l 2 8) 



doivent être des fonctions de e _0 A 2 0, si toutefois cette expression n'est pas 

 une constante. 



» Pour réduire le nombre de ces conditions et traiter le cas exceptionnel 

 où les deux invariants e~ 9 A6, e _9 A 2 8 sont constants, je prends l'élément 

 linéaire 



ds'- = du' 1 -+■ pr; rff a 



des surfaces à lignes d'égale courbure parallèles, et je détermine la fonc- 

 tion U par la condition e -9 A9 = const. Je forme ensuite l'invariant e~ 8 A 2 Ô 

 et je montre que, s'il est constant, les surfaces correspondantes, qui sont 

 applicables sur des surfaces de révolution, sont applicables aussi sur des 

 spirales. Supposant enfin que c _J A_.0 n'est pas une constante, je calcule 

 l'invariant 0(e -6 A 2 0, ) : A(e fJ A 2 0) et je prouve que, s'il est fonction de 

 e~ e A 2 9, les surfaces sont toujours applicables sur des spirales, ce qui montre 

 que la troisième condition obtenue d'abord peut être laissée de côté. J'ar- 

 rive ainsi à ces conclusions : 



» Pour reconnaître si un élément linéaire, donné sous une forme quelconque, 

 convient à des spirales, on calculera la courbure totale — iê (qui ne peut être 

 constante sans être nulle), et l'on formera l'invariant e~° A9. 



» S'il ne se réduit pas à une constante, on formera les deux invariants 



e(e- 6 A0,O) A 2 (e- 6 A9) 



A(e-OAO) ' A(e- 6 A6) ' 



et l'on devra vérifier que chacun d'eux est une fonction de e~'' A9. 



