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» Si e~°AO est une constante, on calculera l'invariant e~ 9 A 2 9. Si ce dernier 

 est constant aussi, l'élément linéaire donné convient à des spirales en même 

 temps qu'à des surfaces de révolution. Si e -5 A 2 n'est pas une constante, on 

 formera 



A(e- 6 A S 8) ' 



et ce nouvel invariant devra être une fonction de e"°A 2 9. 



» Remarquons qu'en égalant à zéro les deux invariants 0( e^ÀÔ, 0) et 

 0(e -9 A 2 9, 6), on aurait les caractères spécifiques des surfaces applicables 

 sur les surfaces de révolution. 



» Les conditions à la fois nécessaires et suffisantes que nous venons 

 d'énoncer et qui résolvent, dans tous les cas, le problème proposé, per- 

 mettent encore de déterminer des fonctions inconnues d'une variable, 

 figurant dans un élément linéaire, parla condition cpie cet élément linéaire 

 convienne à des spirales. Soit par leur emploi, soit au moyen de considé- 

 rations directes, on peut établir les théorèmes suivants : 



» Les éléments linéaires qui conviennent à la fois à des spirales et à des sur- 

 faces moulures sont tous compris dans les formules 



ds 2 = du 2 + a 2 (u m - v 7 ^') dv 2 , ds 2 = du 2 + a 2 (log« — loge ) 2 dv 2 , 



où a et m sont des constantes arbitraires. 



» Les éléments linéaires qui conviennent à la fois à des spirales et à des sur- 

 faces réglées sont tous compris dans la formule 



ds 2 = du 2 -+- (a ^ -+- b - -+- c ) dv 2 , 



où a, b, c sont trois constantes arbitraires. 

 L'hypothèse a = o, qui donne 



ds 2 = du 2 -+-(b--+- c) dv 2 = {J + p 3 )(dx- 4- dV), 



doit être signalée. En effet, M. Weingarten a récemment déterminé 

 (p. 7o5 de ce Volume) toutes les surfaces applicables sur les paraboloïdes 

 cjui ont un plan directeur tangent au cercle de l'infini. (Voir à ce sujet la 

 fin d'une Note insérée aux Comptes rendus, t. CX, p. 223.) On peut donc, 

 en particulier, trouver toutes les surfaces dont l'élément linéaire a la forme 

 ci-dessus. » 



