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ou 



( 2 ) .r-' Ç± 4- np.r"^ J^ + <*-< = = o; 



c'est-à-dire 





pétant un nombre entier. L'équation (i) s'intègre de suite. Pour l'inté- 

 gration de l'équation (2) on pose z =yé Kx . On trouve alors l'équation 



(3) 





i _|_ ïnV'-'.r -+-n(n — 1) pV 1 "*] ^ 4- [cc(V + 1) + rap\] v = o. 



» Si l'on se rapporte à une précédente Communication ( '), on voit que, 

 si l'on détermine 1 par l'équation V -+- 1 = o, p étant un nombre positif, 

 l'équation (3) a comme solution particulière un polynôme de degré p, 

 soit P. L'équation (2) aura alors comme solution particulière Pe )x ; sip était 

 un nombre négatif, l'adjointe de Lagrange de l'équation (3) admettrait, 

 comme solution particulière, un polynôme Q de degré p — j et, comme il 

 serait facile de le voir, l'adjointe de Lagrange de l'équation (2) aurait la 

 solution Qe~ lx . Puisque 1 prend n valeurs, il suit de là que, dans les deux 

 cas, on a l'intégrale générale de l'équation (2). 



» Il reste à donner un moyen de voir sur l'équation E les cas où ces 

 intégrations sont possibles. J'établis les propositions suivantes : 



» Quand on passe d'une équation E à son adjointe de Lagrange, les racines 

 de l'équation déterminante du point critique o sont changées de signe; quand 

 un passe de l'équation E à l'équation correspondant à la première ligne de son 

 déterminant fondamental, les racines de /' équation déterminante du point cri- 

 tique o (la racine o exceptée) sont changées de signe et augmentées de n. 



» L'application répétée de ces résultats conduit à ceux-ci : 



» Quand on passe de l'équation E à l'équation E 2 ., les racines de l'équation 

 déterminante du point o (la racine o exceptée) augmentent de pn ; quand on 

 passe de l'équation E à l'équation E_ 2? , elles diminuent de qn. 



» Cela posé, les racines de l'équation déterminante de l'équation (1) 

 étant o, 1, 2, ..., n — i,on voit que : 



» 1. Quand les racines de l'équation déterminante du point critique o pour 



(') Voir Comptes rendus, 8 décembre 1890. 



