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 une équation E sont 



o, t — pn, i — pn, . . ., (n — i) — /?/? : 



» i° Si p est un nombre positif, les solutions de l'équation E sont données 



par 



i d i d „_ 



" " ..- ' ' ,Zr ,. '-' <&: ' 



le nombre des dérivations étant p, et a. étant racine de V équation r"+i = o. 

 » 2° Si p est un nombre négatif, elles sont données par 



z =- /..■" ' dxfx" ' <l.v...fé XT d.\\ 



le nombre d'intégrations étant p. 



» Dans le second cas, on peut éviter les quadratures par l'emploi de 

 l'adjointe de Engrange de l'équation E. Son équation déterminante aurait 



les racines 



o, (n-f)-hpn, (n—2)-\-pn, i +/w, 



et l'on serait dans le premier cas. 



» L'équation E pour le second ordre est l'équation de Bessel et le ré- 

 sultat précédent l'intègre, comme c'est bien connu, quand l'intégrale gé- 

 nérale est uniforme autour du point critique o. 



» On arrive de la même façon au résultat. 



» 2. Pour qu'une équation ait dans la suite qui lui correspond une équa- 

 tion du type (i), il faut et il suffit que les racines de l'équation déterminante 

 du point critique o soient 



ou 



o, î — pn, 2 — pn, ( n — 2) — pn, (n — 1)— qn, 

 u, («—1) — pn, (n—2)—-pn, (i) — p, 1 — qn, 



et q étant des entiers. 



» Les résultats 1 et 2 intègrent l'équation du troisième ordre, dans 

 tous les cas où l'intégrale générale est uniforme autour du point critique o. 

 11 n'en est pas de même quand il s'agit dune équation d'ordre n. Il est en 

 effet facile d'établir : 



» 3. Pour que l'équation E ait son intégrale générale uniforme dans tout 

 le plan, il faut et il suffit que les racines de l'équation déterminante du point 

 critique o (excepté la racine o) soient respectivement 1, 2, . . .. (n — 1) à un 

 multiple de n près, qui n'est pas le même pour toutes ces racines. 



