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 et considérons un ensemble (E) de points du plan, tels que, pour chacun 

 d'eux et pour toutes les valeurs de l'entier i, supérieures à un nombre posi- 

 tif fixe N, on ait 



a < | V,- ! < A, 



a et A désignant deux nombres positifs fixes. Pour chacun des points de 

 l'ensemble (E), la série (S), où l'on suppose/? plus grand que N, et la sé- 

 rie (S') sont convergentes et divergentes en même temps. Ainsi, en se bor- 

 nant aux points de l ensemble (E), on peut parler du centre de convergence (C) 

 de la fraction continue. 



» Supposons que tous les points d'une partie (y) du plan intérieur au 

 cercle (C) appartiennent à l'ensemble (E); dans le champ (y) la fraction 

 continue définit une fonction analytique continue uniforme de x. 



» La principale difficulté de l'étude de la convergence se trouve dans la 

 détermination de l'ensemble (E). Un cas où il est particulièrement facile 

 de déterminer quels sont ceux des points d'une partie donnée (A ) du plan 

 qui appartiennent à cet ensemble est celui où, dans celte partie (A), la 

 suite illimitée V, , V 2 , V.,, .... tend uniformément vers une fonction continue. 

 Dans ce cas, tous les points de (A), sauf ceux qui correspondent à des ra- 

 cines de la fonction continue, sont des points de l'ensemble (E). En parti- 

 culier, pour la fraction continue d'Euler, tous les polynômes V,, V 2 , 

 sont des constantes égales, si l'on veut, à l'unité; cette fraction est donc 

 convergente dans le cercle (C) et divergente en dehors, ce qui s'accorde 

 avec'le théorème d'Abel sur les séries entières. 



» Les fractions rationnelles approchées d'une fonction forment une 

 suite infinie à double entrée, d'où l'on peut, d'une infinité de manières, 

 extraire des suites illimitées, à simple entrée, de fractions rationnelles qui 

 soient les réduites successives d'une fraction continue simple; le choix de 

 ces fractions peut être fait de telle sorte que les éléments de la fraction 

 continue suivent une loi régulière ; il en sera alors de même des dénomina- 

 teurs V,, V 2 , V 3 , . . .; c'est donc pour ces fractions continues simples parti- 

 culières que l'étude de la convergence présentera le plus de facilités, et 

 les fractions appartenant à un même type régulier se diviseront en général 

 en fractions toutes convergentes ou divergentes en même temps. 



» Ainsi toutes les fractions continues simples régulières relatives à e x sont 

 convergentes dans tout le plan ; pour chacune d'elles le rayon du cercle (C) 

 est infini, tandis que les dénominateurs des réduites tendent uniformément 



soit vers i, soit vers e ~, soit vers e~ j: , fonctions continues qui n'ont aucun 

 zéro à distance finie. 



