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 » Formons maintenant le produit 



(«, + ^ -H c, + ... )(fl 2 H- & 2 + c 2 4-... )...(«„+/;„ ! c n \ .... 



qui est évidemment une fonction entière homogène et du degré n, 



V(a,b, c /) 



des lettres a, b, c '. 



» Si l'on développait ce produit, on y trouverait toutes les permuta- 

 tions demandées et, en outre, des termes contenant certaines lettres à un 

 degré supérieur au premier; dans ces termes, par conséquent, manque- 

 raient certaines autres lettres. 



» Il est clair qu'en prenant la n"' me dérivée par rapport à a, b, c, ...,/. 

 successivement, d'un des termes représentant l'une des permutations 

 cherchées, nous aurons l'unité pour résultat. En prenant la même dérivée 

 d'un terme contenant des exposants supérieurs à l'unité, le résultat sera 

 zéro. 



» Donc, en appelant K J e nombre des permutations demandées, nous 



avons 



__ d" Y (a. />, c, /) 



da db de ... di 



» Cette formule, très générale, n'a guère qu'un intérêt théorique, car 

 elle permettrait rarement, dans la pratique, le calcul effectif des permuta- 

 tions pour chaque problème particulier. Elle peut cependant offrir une 

 ressource précieuse pour vérifier des solutions obtenues, soit sous forme 

 déterminée, soit sous forme récurrente, par des méthodes directes. 



» Nous ferons remarquer enfin que cette formule donne la solution 

 générale d'un problème récemment étudié par M. G. de Longchamps, 

 et qui peut s'énoncer de la manière suivante : 



» Dans le déterminant 



A 



a, «.. ... a n \ 

 A, h 2 ... b, 



/, L ... I, 



I! 



un certain nombre d'éléments venant à s'annuler, combien le déterminant 

 A aura-t-il de termes? 



» Il est clair qu'en formant les sommes des éléments de la première, 

 de la deuxième colonne, etc., et en effectuant le produit après avoir sup- 



