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 les conditions pour que cette équation admette une intégrale du premier 

 ordre dépendant de deux constantes arbitraires V(.r, y, z,p, q, a, b) = o 

 sont de deux sortes ('). Il faut d'abord que l'équation (i), où l'on regarde 

 a-, y, z, p, q comme des constantes et r, s, l comme des coordonnées cou- 

 rantes, représente une surlace réglée ayant ses génératrices parallèles à 

 celles du cône 



(2) .v 2 — rt = o. 



» Supposons cette condition remplie et soient 



l r = ms ■+■ [j., 

 s = ml ■+- v 



(3) 



les équations d'une génératrice de la surface ; les paramètres m, a, v de- 

 vront vérifier deux équations de condition, qui dépendront de la surface 

 considérée, 



(4) A(x,y,z,p, q,m,[j.,v) = 0, B(x,y, z,p, q, m, </., v) = o. 



» Posons dans ces relations 



dV dV à\ dV _ dV 



m = 



dq dx dz dy ' * dz 



dp dp dp 



nous aurons, pour déterminer la fonction inconnue V, deux équations du 

 premier ordre, cpii devront admettre une intégrale commune avec deux 

 constantes arbitraires. S'il en est ainsi , la méthode de la variation des 

 constantes permettra d'obtenir une intégrale du premier ordre dépendant 

 d'une fonction arbitraire ( 2 ) ; mais la présence de cette fonction arbitraire 

 empêchera en général d'achever l'intégration. Il y a cependant un cas où 

 l'on pourra achever l'intégration, malgré la présence de cette fonction ar- 

 bitraire. 



» Supposons les équations qui déterminent V mises sous la forme 



(5) 



àY dV .( dV dV 



d\ dV ,„/ d\ d\ 



dj +< idï= w ( oc >y> z 'P>r>-à fi ->-§ q - 



(') Voir, par exemple, Backluxd, Mathematische Annalen . t. XI, p. 219. 

 (-) Darboux, Annales de l'École Normale supérieure, p. 173; 1870. 



