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d\ dV 



<1> ol W étant des fondions homogènes et du premier degré de -j-> y- > et 



considérons le cas où elles forment un système en involution , c'est-à-dire 

 où elles admettent une intégrale complète avec trois constantes arbitraires, 

 abstraction faite de la constante par laquelle on peut multiplier toute solu- 

 tion. Il est facile de trouver les conditions pour qu'il en soit ainsi; on aura 

 en particulier 



, a s dv d<b 



( 6 ) 



àq 



dp 



» Cela posé, soit V(x, y, z, p, q, a, b) une intégrale des équations (5); 



jaramètres a et b, et en for- 



; on vérifie facilement que 



da 1 ' db 



en différentiant ces équations par rap îortaux 

 mant les crochets \ , y- \, \ , y 

 l'on aura 



Il suit de là que les trois équations 

 V = o, 



rd\ àvi 



\_~da' db\ =0 - 



ôa 



d\_ 

 db 



= b\ 



où a, b' désignent deux nouvelles constantes, donnent une intégrale 

 complète de l'équation V — o. Considérons maintenant les deux équa- 

 tions 



(8) 



*(«)» 3Z + ? ( a ) âÂ = °- 



où <p(a) désigne une fonction arbitraire de a; imaginons que de ces rela- 

 tions on tire a et b en fonction de x, y, z, p, q et désignons par V,, V 2 , 



V 3 les fonctions V, -j— j y où l'on aurait remplacé a été par ces valeurs. On 



vérifie encore sans difficulté que l'on a 



[V,,V 2 ] = o, [V,,V 3 ] = o, |V 2 ,V,] = o, 



de sorte que les relations 



V, = o, V 2 = a', V, = b' 



donnent une intégrale complète de l'équation V, = o. En réunissant ces 

 résultais, on conclut que l'intégrale générale de l'équation proposée sera 



