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représentée parmi système de deux équations de la forme suivante 



( U[x,y, z, a, f(a), ?'(«), '!(«)] == o, 

 (9) I au du ,, N , du „, . du ,,, N 



o(a) et^(a) désignant deux fonctions arbitraires. 



» La recherche des équations du second ordre qui s'intègrent de cette 

 laçon revient à la détermination des fonctions Y(x, y, z, p, q, a, b) satis- 

 faisant aux relations (7). 



» On a une solution assez générale eu prenant 



V = Z + «X + iY+o(P + fl,Q -+-A), 



<p désignant une fonction homogène et du second degré, et X, Y , Z, I', Q 

 cinq fonctions donnant lieu à l'identité 



d'L - VdX - QdY = ? (dz —pdx - qdy). 



» Enfin je ferai remarquer que, si l'on applique ce qui précède aux équa- 

 tions linéaires, on retrouve les équations étudiées par MM. Sophus Lie et 

 Darboux, pour lesquelles les équations différentielles des caractéristiques 

 admettent trois combinaisons intégrables. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une méthode élémentaire pour établir les 

 équations différentielles dont les fonctions thêta forment les intégrales. 

 Note de M. F. Casparv, présentée par M. Hermite. 



« En poursuivant la voie ouverte par M. Hermite, j'ai prouvé que les 

 éléments d'un système orthogonal s'expriment par les fonctions thêta d'un 

 nombre quelconque d'arguments, et j'ai montré que les identités algé- 

 briques et différentielles qui ont lieu pour lesdits éléments permettent d'en 

 déduire la théorie des fonctions thêta. 



» Dans cette Note, je vais donner une nouvelle application de la liaison 

 qui existe entre les éléments d'un système orthogonal et les fonctions 

 thêta, en me proposant d'en tirer une méthode élémentaire pour établir 

 les équations différent ielles dont les fonctions thêta forment les intégrales. 



» Soient a mn (/», n = 1, 2, 3) les neuf coefficients d'un système ortho- 



