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gonal etp h , v h (A = i, 2, 3) six quantités, définies par les égalités 



[ h, k, 1= i, 2, 3 

 Ph= ~ (a>kda u -h a ak da u + à 3k da u ) ) _ i 



''a = «a, da lK - \ a hl cla,, - 1 a h% da l3 I ' ' 



» Alors on sait que les quinze quantités a mnt p h , v h> que j'appelle éléments 

 d'un système orthogonal, s'expriment identiquement par quatre quantités 

 quelconques. Si l'on choisit pour ces quatre quantités des expressions 

 convenablement composées des fonctions thêta qui renferment les para- 

 mètres doublés 2Ï a B, on est conduit, au moyen des transformations du 

 second degré, à ces expressions dont il s'agit et dont j'ai donné antérieu- 

 rement, pour les fonctions thêta d'un et de deux arguments, les plus 

 simples. 



» Supposons que ces expressions des éléments d'un système orthogonal 

 par les fonctions thêta soient établies tout généralement; dès lors les iden- 

 tités qui existent entre les éléments a mtt , p h , v h entraînent des égalités entre 

 les fonctions thêta et leurs différentielles. Réciproquement, ces égalités, 

 convenablement choisies et employées, entraînent des équations auxquelles 

 doivent obéir les éléments du système orthogonal pour être exprimés par 

 les fonctions thêta d'un nombre déterminé d'arguments. Par conséquent, 

 ces équations ne sont point des identités ; elles sont différentes selon le 

 nombre d'arguments des fonctions thêta et en caractérisent le genre. Les 

 formes sous lesquelles ces équations se présentent sont très nombreuses, 

 mais elles se séparent en deux classes : équations algébriques et équations 

 différentielles. Les unes sont précisément celles qui apparaissent dans des 

 problèmes de Géométrie et de Mécanique et dont on cherche les inté- 

 grales, tandis que les autres fournissent les relations algébriques par les- 

 quelles ces intégrales sont liées entre elles. 



» En me réservant de communiquer d'autres applications de la méthode 

 exposée, je vais l'illustrer par une seule qui concerne les fonctions thêta 

 de Jacobi dans lesquelles entrent deux arguments quelconques. 



» D'après le théorème que j'ai établi dans mon Mémoire, inséré au 

 t. VI du Journal de M. C. Jordan, on a, pour ce cas, les expressions carac- 

 téristiques 



^ Ph= - ia 3h m Sl/> v 3 = - im s (i=^/—i), 



m y = 6 Y - -1 dw + é±-{ dx -h d logF (y = s, s, , s 2 , s 3 ), 



<: R., 1891, i" Semestre. (T. CX1I, N° 20.) ' l' 1 



