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 » Soit 



(0 x(y,y,*) = o 



une équation dont le premier membre est un polynôme irréductible en y', 

 y, x, de degré q en y'. Nous supposons que l'on a fait subir aux variables 

 x, y la transformation homographique la plus générale. Quand l'intégrale 

 de (i) est algébrique, le genre vs de la relation entre les constantes inté- 

 grales (nombre que j'ai introduit dans des travaux antérieurs) est nul, ou 

 égal à i ou plus grand que i. Quand on suppose u>i,ona une limite su- 

 périeure du degré de l'intégrale; dans l'hypothèse xs = i , l'intégrale doit 

 satisfaire à l'égalité 



3 (y 1 , y, es) l"Pdx -+~Qdy -eonst., 



où J représente une intégrale simple de première espèce attachée à la sur- 

 face (i). On reconnaît algébriquement si cette condition est vérifiée : il 

 faut de plus que J n'ait que deux périodes. On est ainsi ramené au 

 problème de la réduction des intégrales abéliennes aux intégrales ellip- 

 tiques. 



» Reste le cas de gj = o. Pour fixer les idées, faisons q = 2, mais la mé- 

 thode s'applique aussi bien, quel que soit q. Soit donc 



(1) l-f-2M/ + N = o 



l'équation considérée, où L, M, N sont de degré m en x, y. Il n'existe pas 



en général de points d'indétermination dey', c'est-à-dire de valeurs de a - , y 



qui annulent à la fois L, M, N. De tels points E, quand ils existent, sont des 



nœuds ou des cols. Résolvons, d'autre part, l'équation (1) par rapport 



à J' : 



, _ M ± y/M 2 — Li\ M zn P y/QR 



R = o définit une intégrale singulière, Q = o le lieu des points de rebrous- 

 sement des intégrales. Sur cette dernière courbe, distinguons les points E' 

 où le coefficient angulaire de la tangente est égal ky'. 



» L'intégrale de (1), lorsqu'elle est algébrique et que us est nui, s'écrit 



O) /(a7,^) = C»a-=-aCP+y = o; 



/désigne un polynôme de degré n en r, y, irréductible pour toute valeur 

 de la cozistante C, sauf pour certaines valeurs remarquables. Si on élimine 



