( Ilf)-' ) 



C entre les équations (2) et/J -+-/ r ' y'= o, le résultant 



L,r' : -2M,r'+ N, = o 



est de degré (4 ra— 2) en x,y. Mais L,, M„N, sont divisibles : i°paro' A -\ 

 si, pour une valeur c de C, /est divisible par <p x ; 2 par ^ si p 2 — xy 

 contient en facteur ip ((/. < 1). Cette règle doit être modifiée quand ty = o 

 définit en même temps une intégrale de (1); de même, quand <p entre en 

 facteur dans/ aux puissances >. et V pour deux valeurs de C, L,, M,, N, 

 sont divisibles par © VfV ~ 2 . 



» Quand l'équation (j) n'a pas de nœuds, on reconnaît aisément si son 

 intégrale est une courbe algébrique de genre donné. Mais cherchons à 

 résoudre la même question sans aucune donnée. Désignons par lie degré 

 de <p, par k le nombre des valeurs remarquables de C, par r le degré de 

 l'intégrale singulière R = o. On trouve 



m 



an - 2/(A - [) =(2 -k)n - il. 



» Ceci suppose, toutefois, que la quantité M 2 — LN ne contient aucun 

 facteur y* (<*]> 1) qui» égalé à zéro, définisse une intégrale singulière; 

 sinon il faut modifier la formule. Ce cas, où l'équation admet une inté- 

 grale singulière multiple, ne se présente que s'il existe des noeuds. Dans 

 tous les cas, le nombre des valeurs de C pour lesquelles /est une puis- 

 sance d'un polynôme ne saurait excéder (S. 



» De plus, si pour une valeur remarquable a on a 



la courbe <p, = o rencontre une au moins des courbes <p, = o (soit<p 2 = o) 

 en un des points E ou E'. Quand ce point P est un nœud, il passe par ce 

 point au moins deux branches remarquables isolées qui appartiennent aux 

 courbes <p, = o, o. 2 = o. Nous disons alors qu'wn col est confondu avec un 

 nœud. De là une limite supérieure du nombre X\ En étudiant les inté- 

 grales dans le voisinage de P, par les méthodes de M. Poincaré, on peut 



d'ailleurs calculer la valeur irréductible j du rapport r*-- Ce rapport est 

 nécessairement égal à 1 aux points E'. 



» De là résulte ce théorème : On reconnaît algébriquement si l'intégrale 

 d une équation (1) est algébrique et correspond au cas de rs = o : 



» i° Quand l'équation (1 ) n'admet pas de points d'indétermination; 



