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» 2° Quand elle n'admet pas de cols par lesquels passent plusieurs branches 

 isolées ; 



» 3° Lorsqu'il existe de tels cols, mais que les nombres /, , L, ... sont, pour 

 chacun de ces points, ou égaux à l'unité ou plus grands que 5. 



» Au cas où il existe des nœuds, le théorème suppose essentiellement 

 que l'équation (i) n'admet pas d'intégrale singulière multiple. La méthode 

 est encore en défaut quand m + i — r est /tuf, ou quand, m -+- i — r étant 

 positif, l'équation admet une intégrale particulière de degré (m -+- i — r). 



« Ce théorème subsiste, quel que soi! q. Pour q = i, les dernières res- 

 trictions sont inutiles. Pour q quelconque, on peut énoncer notamment 

 cette proposition : Quand une équation du premier ordre n'admet ni cols ni 

 intégrales singulières multiples, on reconnaît algébriquement si son intégrale 

 est algébrique, ou l'on ramène l'équation à une quadrature. Il y a exceptioii 

 si m -r- q — r est nul, ou si, m ; q — /'étant positif, il existe une intégrale 

 particulière de degré m -+- y — r; /est le degré de l'intégrale singulière. 



» Voici d'autres résultats relatifs à une question différente. Soit F = o 

 une équation irréductible entre y' et y, de degré q en y', dont les coeffi- 

 cients sont des fonctions quelconques de x, et soit m le plus grand des 

 nombres m,+ i; m t est le degré en y du coefficient de y' 1 . On reconnut/ 

 algébriquement si f intégrale de cette équation ne prend qu'un nombre donné n 

 île râleurs autour des points critiques mobiles, et l'équation s'intègre alors par 



quadrature, à moins que n ne soit précisément égal à — ; rest le degré 



en y de l'intégrale singulière. Dans ce dernier cas. il peut rester à intégrer une 

 équation de Riccati. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - - Sur la détermination des intégrales des équa- 

 tions aux dérivées partielles du premier ordre. Note de M. J. Collet, 

 présentée par M. Darboux. 



« Une équation aux dérivées partielles étant donnée, 



F( = , x t -, p k ) — o ii, /> - - i , 2, n), 



les éléments initiaux (z", x",pl) définissant les caractéristiques qui engen- 

 drent une de ses intégrales devront former une multiplicité intégrale 

 '■ \1„_, )° d'ordre n — i, c'est-à-dire, devront dépendre de n — i variables 



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