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 si l'on définit la fonction arbitraire 0, en posant 



= V(a , a,, ..., x n , a, a„ ), 



on retrouvera la solution précédemment obtenue; et il est facile de vé- 

 rifier cpie, non seulement elle contient la multiplicité (P n _ q Y, mais encore 

 qu'elle est le lieu de toutes les caractéristiques dont les éléments initiaux 

 constituent la multiplicité intégrale (M„_,)° définie par (P„ _ ? )°. 



» Le cas d'une équation linéaire exige un examen particulier. Alors, 

 l'intégrale considérée sera définie, non plus par une équation unique en 

 général, mais par un système de q équations entre les seules coordonnées s, 

 x\,x 2 , ...,x n . Pour chaque point de cette intégrale, les équations ana- 

 logues à (4) constitueront, avec l'équation différentielle, les « — q 4- i 

 relations qui relient les valeurs de p,,p 2 , ■■ p a \ et comme, en chaque 

 point, n — <7 + i coordonnées sont arbitraires, la multiplicité intégrale 

 ainsi obtenue sera bien d'un ordre éiral à n. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur les équations abèliennes. 

 Note de M. A. Pellet. 



« i. Appelons A, selon l'usage, le produit des carrés des différences 

 des racines d'une équation. Pour une équation abélienne de degré impair, 

 A est un carré parfait, et, pour une équation abélienne de degré pair im, 

 y/A est une irrationnelle qui, adjointe aux quantités connues, permet de 

 décomposer son premier membre en un produit de deux facteurs d'égal 

 degré m. Soient S, à, les A relatifs à ces facteurs; ce sont des fonctions ra- 

 tionnelles de y/A conjuguées, c'est-à-dire qu'on obtient l'une en rempla- 

 çant y/A par — y/ A dans l'autre. Si m est pair, y/S et y/S, sont des irration- 

 nelles équivalentes; on a donc S, = «*§, «étant une fonction rationnelle 

 de y'A; d'où S = mJS,,«, étant la conjuguée de u, aïiru] = i. D'ailleurs, on 

 a é? 2 B<$, = A, d étant une quantité rationnelle avant l'adjonction de y/Â; 



donc d'-u 2 P= A, S = -y/A»; d'où S, =— -y/Â«. et SS ( = -,uu,, ce qui 



donne uu, — — ï. 



» 2. Appliquons à l'équation binôme L = o. On a 



pip-' i 

 A = (-i) ■ P '-\ 



