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 ou simplement p p ~ 2 , si p — i est divisible par 4- I e ' d< ^ %t sont des nom- 

 bres entiers algébriques, et de la relation d 2 tà t - p p ~ on déduit que 8 

 et S, doivent être des fonctions entières à coefficients entiers de \fi) . 

 Soient a et b deux entiers positifs satisfaisant à la relation a 2 — b 2 p — i , 



et, pour fixer les idées, eboisis de manière à rendre la somme a-^-bsJp 

 minimum; on reconnaît que o doit avoir la forme 



rfc (bp a \[p)p h (a b\/p) 2 ', 



k et k K étant des entiers, le premier positif. Mais |8 doit être négatif, si 



- est impair, et positif dans le cas contraire; donc, pour avoir les 



irrationnelles de l'équation aux quatre périodes, il faut se donner 



\ [bp — a \p) dans le premier cas, et \//>p — a \p dans le second. 



» D'après la méthode de Gauss, il faut adjoindre y — 2 (p — a-sjp) dans 



le premier cas et \ -2[p -+- a \Jp dans le second, a. étant déterminé par les 

 deux conditions k. 2 4 !\'f ■■ i, a i (mod/|); il en résulte que le pro- 



duit — 2(a rp \jp) {a -t- b \Jp) est le carré d'une fonction entière de \jp. 



» Cette méthode fait dépendre la connaissance des irrationnelles de 

 l'équation aux huit périodes de celle des unités complexes de l'équation 

 aux quatre périodes. 



3. De ce qui précède, on peut déduire le caractère biquadratique de 

 tout nombre premier q, autre que 2, divisant l'un des nombres mou c relies 

 par l'équation u 2 — v-p = — i . Si q divise u, il est résidu quadratique 

 mod.^; si p — i est divisible par 8, q est résidu biquadratique (mod.p) si 

 v est résidu quadratique mod.q, et non résidu biquadratique (mod./.*) si v 

 est non résidu quadratique mod.r/; si p — i n'est pas divisible par 8, q est 

 résidu biquadratique (mod. />) si — v est résidu quadratique (mod. q) et 

 non résidu biquadratique lorsque — eest non résidu quadratique (mod. q). 



» Si q divise v, p et q sont en même temps résidus quadratiques ou non 

 résidus quadratiques l'un par rapport à l'autre. Supposons q résidu qua- 

 dratique modyo. Si q est de la forme «SX - -f- i,p et q sont en même temps 

 résidus biquadratiques ou non résidus biquadratiques l'un par rapport à 

 l'autre; si q est de la forme 8k -+- 5, q est résidu quadratique (mod./;) sip 

 est non résidu biquadratique (mod. q ), et vice versa. > 



