( "49 ) 

 M. Joseph Geraud adresse une Note sur « Un système d'aérostat diri- 

 geable ». 



(Renvoi à la Commission des aérostats.) 



M. Lembert-Rogui.v adresse une Note sur la direction des aérostats. 

 (Renvoi à la Commission des aérostats.) 



CORRESPOND ANCE. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Surles erjuationsabclienn.es. 

 Note de M. A. Pellet, présentée par M. Poincaré. 



« On peut édifier pour les radicaux d'indice q, nombre premier impair, 

 une théorie analogue à celle que j'ai développée dans une Note précédente 

 pour les racines carrées. Soient _/(«;) = o une équation abelienne irréduc- 

 tible de degré m, et x, 9 (a?) 0'" ' ( x), ses m racines, x désignant l'une 



d'elles, b(x) une fonction rationnelle telle que9 m (a?) = x. Considérons le 



, . , m(m — i). . .{m — y-t-i) c , 

 produit des ■ — ~ - tacteurs : 



1 l . 2 . 3 . . . q 



O'(.r) -+-a8'c(ic) l- a 2 0'M,.e; -k . . h- a''" 1 ¥<,-< (x ), 



où les nombres positifs i, i i q , vont en croissant, le premier pou- 

 vant être nul, auquel cas 0' (a;) représente x, et où a représente une racine 



de 1 équation - - — o. Si l'on change x en O(a-), ce produit est multiplié 



par une puissance de a, d'exposant égal au nombre de facteurs qui ren- 



r i „ i < „, i / . • . {ni — r ) ( m — 2 ) . . . ( ni — a -+- i ) „ 



ferme le terme oc^'O" 1 -' (x ), soit— —^ '— -■ Cet expo- 



i . 2 . 3 . . . q — i i 



sant est ou non divisible par q, suivant que m n'admet pas ou admet le fac- 

 teur q. Dans le premier cas, le produit est rationnel, dans le second il 

 acquiert q valeurs distinctes par la substitution des racines de l'équation 

 f(x) = o; sa puissance q' ème est une quantité rationnelle P, et, si l'on se 

 donne y l\ on pourra décomposer la fonction /(x) en un produit de q fac- 

 teurs d'égal degré — • Soient T/jf 1 ,, . . . , <£„_, les quantités correspondant à P 



pour ces facteurs; on a A'IM? $ ? _, = P, A étant une quantité rationnelle. 



En effet, A est le produit des facteurs <i\x) -+- a0'. (x) -+- . . . -+- <x? ' 8* - ' (x) 



