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pour établir, au moyen d'identités, les équations différentielles dont les 

 fonctions thêta d'un nombre quelconque d'arguments forment les inté- 

 grales. Je demande la permission d'en donner une nouvelle application, 

 relative aux fonctions thêta de deux arguments. 



» Soient w,, w, deux arguments quelconques et$ s (wi, w> 2 ), %a.(w K , w 2 ), 

 £ a a ((*>,, w 2 ) (a, p = o, i, 2, 3, 4) les seize fonctions thêta de deux argu- 

 ments. Alors les quinze quotients 



&«(w l t«*' s )^i( w '«» w '») et S*$( w <> w *) : $\( w *> w 2) 



forment les quinze fonctions hyperelliptiques de première espèce qui sont 

 égales, sauf des constantes, aux quinze expressions 



P _ p Mi \ v 71 ^ \|^7) 



f, ~ V *l-*il_(*l-«|l)(»l-«v) U»-^)(Sï-«v)J 



([A,v == a,P,y, S, e; [i^ o), 



où les indices a, [4, y, o*, s désignent, dans un ordre( quelconque, o, 1,2, 

 3, 4» et où 



R(s A ) = A (s A - a ) (5 A - a, ) (s k —a 2 )(s k - a 3 )[s k — a 4 ) (A = 1, 2), 



s t , s., étant des variables, et A; a , . . ., a, t des constantes. 



» D'après le théorème que j'ai donné antériairement (ce Recueil, 

 28 juillet 1890), les quinze fonctions P^, P HV sont proportionnelles aux 

 quinze éléments d'un système orthogonal que je désigne, en conservant la 

 notation de mes Notes citées, par a ma , p A , v h (m, n/( = i,2, 3). 



» Ceci rappelé, au moyen de ce théorème (' ), ai tire de l'identité diffé- 

 rentielle 



da. 2l = a 2i p 3 — a 23 p.,— — a 3 ,v, 



en y remplaçant les éléments a mn , p h , v A par les fonctions hyperelliptiques 



(') Je saisis cette occasion pour corriger quelques er 

 glissées dans les expressions (I) du théorème cité. D 



jurs d'impression qui se sont 

 ns les expressions des coeffi- 



cients a,, et a 32 , on doit rayer, aux dénominateurs, le coifficient i, et dans l'expression 

 du coefficient a 2 2> on doit lire \J$y au lieu de \Ja-y. 



