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 égales, les deux formules 



(0 



(Py) ^Po8= Pr^Sy^', — a$dw 2 ) — P a pPsp(^«'. — « Y ^2)» 

 ^Paô= A P a P s (div, — a, dw 2 ) — P at P S zd(i\, 



où (jîy) désigne la différence ap— o y . 



» Envisageons dès à présent les arguments w t , w 2 comme fonctions 

 d'une nouvelle variable /, et posons 



p,=p dt, />, = qdt, p 3 = rdt; 

 v s = vdt, v i =v'dl, v 3 = v"dt; 



dw, — a a dw 2 = -r-j du\ = a$ dw 2 = -& , dw { = <r y dw 2 = ^ , 



7 j dt , , dt 



dvi\ — a,; f/ir._, = =p dn\ — a £ f/u., = ^ • 



» Si l'on remplace maintenant, dans les formules (1), les indices (3, y par 

 S, s; de plus, les ind ces a, <$, s successivement par fi, y, %; y, a, (3; a, fi, y, 

 et si l'on substitue eifin, pour les fonctions hvperelliptiques, les éléments 

 égaux <7,„„, p h , c/s, on obtient, sans aucun calcul, les équations différen- 

 tielles 



-5- - - A„((3y) ( -p- + -p- 



(. • ; ' di ~ — A ( , J- ){ -pi I pT" 



! d(Q-) _ . w ; ff„nj. a 8l a !2 \ 



I df — ~ Ao( - X[j ) \~F r ~ ~^~ ~F^ ) 

 et 



^-(B-C)yr + A ^a 12 a ls , 

 (H) J^' =(C-A)i 7 n-A.^a l ,a 41 , 



dans lesquelles deux des "onctions A, B, Cl, F', F" sont quelconques et trois 

 liées entre elles par une lelation linéaire. 



» Les équations différeitielles que je viens d'établir mettent en évidence 

 l'existence de relations algébriques entre les éléments a m „, p, q, r, dans le 

 cas où ceux-ci peuvent <tre représentés par les fonctions thêta de deux 



