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applicables sur elle. Leur détermination dépend d'une équation que nous 

 allons mettre sous une forme remarquable. 



» On sait que tout élément linéaire de spirale peut s'écrire 



(I) ds* = e*'V i (du* + dv*), 



en désignant par U une fonction de M. D'autre pari, (on te spirale est repré- 

 sentée en coordonnées semi-polaires par les formules 



s = s < r = r„e' '', 8 -to -+-Av. 



■ m : . ■ . sont des fonctions île u, ei h une constante. En identifiant son 

 élément linéaire avec le pré< édent, on trouve les trois conditions 



I », 



' ' < = o. 



■ l . 



mi les accents désignent des dérivées. Ce système détermine les trois fonc- 

 tions in< onnues. 

 » Dans l'hypothèse particulière 1 k* o, qui ne convient qu'à 'les 



spirales imaginaires, Tel un mai ion île .- , ei Je . . donne 



l - i il- I -I • o. 



équation lima ire par l'appui I a / . < >n peut donc I nui ver par quadratures 



seulement une infinité simple «le spirales imaginaires applicables sur toute 

 spirale donni e. 



» Dans le ea s général i -\- k* o, éliminons r„ et . , entre les trois e.pia 

 lions précédentes; il vient ainsi, imis calculs faits, 



(l) k\i : >=*M '-1 '». 



» Telle est l'équation du problème. En la supposant intégrée, on con- 

 naît s , et par suite /„: il n'\ a plus qu'à effectuer nue quadrature pour 

 avoir io . Or l'intégrale générale s, contient, outre le paramètre k, une 

 constante arbitraire, ce qui démontre le théorème de M. Maurice I .<-\ \ . 



o 1. L'équation < i i, malgré sa simplicité, n'est pas de celles que l'on 

 sait intégrer en général. Comme elle est <lu -enre zéro par rapport à z„ 

 <l r . on peut la ramener a un type étudié par divers auteurs. Posons, en 

 .11.1 . 



A-'U'-l ; __, ;/1 „ _JJ . _ /(«) . 



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