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 nous obtiendrons pour équation transforn 



•■.,!.■■ _,]=„. 



Or celle-ci esl visiblement intégrable par une quadrature quand la 



logarithmique .l>- f(u) esl < onslante. I d moyeu simple de réaliser 



■ rconstance consiste .1 prendre l ■ . I a conséquence, quelle </ut- 



toit l,i < orutanlt m, nu peut "/'/' nir pardi - quadratures (ont, s h s spirales d'élè- 



iii- lit UtU nir< 



,/s- ,- ,- : r • ,/. 



I, Il \n-iii de remarquei que l'équation (1) est exactement de 



même forme que celle donl dépendent les lignes géodésiques des spirales. 

 Soit, '-ii effet, Pi ". c \ l'intégrale générale de l'équation 



I- 1 l -. 



1 in sait que les géodi siques des surfaces <jm admettent l'élément li- 

 aéaire 1 I ont pour équation finie t P const. 



Supposons, d'autre part, qu'on ait, par un procédé quelconque, 

 complètement déterminé les géodésiques, ce qui arrive pour <h\' 

 classes de spirales. L'équation Unie <1<- 1 es lignes est, d'après ce qui pré- 

 . ède, de la forme 



1 . ...... 



i.int les il<-u\ constantes arbiti lires, Fe .lis qu'on en peut déduire 

 l'intégrale générale P de l'équation I t effet, en différentiant l'équa- 



tion | 1 ' par rappoi t à r, on troui e 



PP P P 



d'où l'on tire, «-n ayant 1 gard à l'équation 



P p 1 



i' i' 1 i- ■ 



\iiim P se déduit de P pardiffy rentiation. Or, à cause dee"P| const., 

 ,,. .us aurons P 1 à un fa< leur près, 1 e qui suffit 1 par l'équation 



I », p;, 

 , i onnaissanl de la sorte,] ' certaines formes déterminées de la 



