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» Comme conséquence Immédiate «lu théorème précédent, on remarque 

 le suivant, que l'on peul rapprocher des résultats donnés récemment par 

 M. Lucien Lévj dans le Bulletin des Sciences mathématiques : 



» Si une surface est une surface i relalivi ment a trois translations rectilignes 

 non parallèles à un menu plan, cette surface est nèa ssairementunplan ouum 

 sphère; si ces translations sont parallèles a un mime plan, on doit, pour avoir 

 toutes les sur/aces 1 corn {pondantes, adjoindre au plan < t à la sphère tous les 

 cylindres dont les génératrices sont perpendiculain i a ce plan. 



» Comme les expressions — et -. sonl seulement fonctions, la première 



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de u, la seconde de c, on peut, sans changer les lignes de coordonnées, 

 rendre ij etti, égaux respectivement à a et b . La relation! i i montre alors 

 que r e.st égal à — r,, et de là résulte la relation < i l. Réciproquement, on 

 sait que, pour une surface donnée par sa représentation sphérique, les trans- 

 lations ; et r, vérifient chacune une équation de Laplace; si l'on tient 

 compte des hypothèses qui caractérisent un système -. on voit que : et y, , 

 admettent les valeurs correspon lantes 



/ a ia ■ ;</ . y., i.l> J jl> -\ h . 



» On vérifie, en outre, que la surface In un ne par ces valeurs de : et m, est 

 une surface 2 pour une translation rectiligne dont les cosinus directeurs 

 sont proportionnels a . 8, • 



» En résumé, à chaque système s correspond un groupe de surfaces -; 

 toutes ces surfaces d'un même groupe se- déduisent de trois d'entre elles par 

 composition géométrique. Réciproquement tontes les surfaces 2 peuvent 

 être obtenues de cette manière. 



» Pour le système <r formé de méridiens et de parallèles, la relation i j i est 

 identiquement vérifiée, i ar </ et r, sont nids; on reconnaît ainsi que tontes 

 les surfaces moulures de Monge sont des surfaces £. ( e sont d'ailleurs, 

 parmi les surfaces dont les normales sont tangentes à une développante, 

 les seules qui jouissent de cette propriété. 



» D'autre part, j'ai montré dans une Note antérieure que, de chaque 

 solution de l'équation ' ! relative au système conjugué Ion ne par les lignes 

 de courbure d'une surface, on peut déduire une solution correspondante 

 de son adjointe < ! Ce résultat peut être énoncé de la manière suivante : 

 .1 chaque solution de l'équation <> correspond uni surface qui admet la repré- 

 sentation sphérique considérée. La différence 11 - \\ entre les rayons de cour- 

 bure principaux de cette surface est une solution y. de G : et réciproquement. 



