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» J'ai trouvé ces résultats au moyen de certaines équations tonction- 

 nelles de la manière que voici. En considérant l'ensemble des deux courbes 

 {m, ri, a) et [m', n' , a'), ou, comme on peut dire, une courbe m -+- in\ 

 l'ensemble des courbes m et m', on a, |)ar exemple, 



(4, l)m+,H'=(4, l)m + (4, lW + (4)mflW+(4)ni'(0'«j 



où (4, i)m+m'j (4> i)'«' (4i i)m' sc rapportent aux courbes m -h m', m et m' 

 respectivement; (4)m (')'«' (dénote le nombre des coniques qui ont avec la 

 courbe ni un contact du quatrième ordre, et avec la courbe m' un contact 

 du premier ordre; et de même pour (4)/n' (Om- ^^^^ étant, en écrivant cette 

 équation sous la forme 



(4. i)m+m' — (4, ')m " (4, l)m' = l4jm (')«' + (4),n' (l)"0 



on calcule par des formules connues l'expression à côté droit en fonction 

 de {i7i,n, a, m', n', a'); l'équation est alors une équation fonctionnelle à 

 laquelle doit satisfaire la fonction inconnue (4, i),n) ^t l'on obtient de là 

 (4i 0'" ^g^l à une fonction déterminée de {m, n, a), plus des termes linéaires 

 en (m, ii, u) qui restent indéterminés. Comme (4, i)m est symétrique par 

 rapport à (/», 7i), ces termes seront de la forme a [m -h n) -h b x ; pour 

 trouver les coefficients, je remarque que pour une courbe cubique on 

 a (4, i),„ = o; comme la cubique peut être une cubique générale, ou avec 

 un point double, ou avec un point de rebroussement, on a pour (/?;, ?i, a.) 

 les trois systèmes de valeurs (3, 6, i8), (3, 4, 12), (3, 3, 10); cela donne 

 pour a et b trois équations satisfaites par les mêmes valeurs a = io4, 

 b = — 66, et la détermination du nombre (4, i),n ou (4, i) est ainsi 

 achevée. H y a de même, pour chacun desaulres nombres (3, a), (3, i ,1), etc., 

 toujours deux coefficients a et b qui doivent satisfaire aux trois conditions 

 obtenues, comme ci-dessus, au moyen d'une cubique. L'existence de ces 

 trois conditions fournit dans chaque cas une vérification assez complète des 

 calculs. 



') Je me sers, dans l'investigation, d'une formule générale qu'il convient 

 de mentionner : en considérant trois conditions 3X et deux conditions 2X' 

 quelconques et en écrivant 



(3X, 2/.) = ,a, (3X, p^d)=:v, (3X, 2r/) = f, 



(aX', 3/.).= ^/, (aX', 2/; + r/) = v', (7.X', /j + 2^/) = p', {■i\', 3(1)=^^'; 



