( 524 ) 



» La lormule {a) ne confient généralement pas de solutions singulières, 

 et par conséquent n'est sujette à aucune réduction numérique, si l'on a 



T> — I{n) H-/ + 3. Cela est toujours vrai, si les conditions données, 



antres que celles des contacts avec la courbe U'", consistent à passer par 

 des points fixes et à toucher d'autres courbes données par un siu)ple con- 

 tact, on à les couper sous des angles donnés. 



» Si t = i, la formule [a) devient celle que j'ai fait connaître dans ma 

 dernière communication, savoir : 



N = |x(m, +i) («2 H-i) (r/H - n, — n„) [im — n, — tin — i) 



H ^— (w — ôiii -+- 2) [rm — n, — ri^ — 1) 



"1 "j 



3 ni ■+- 2 



[m- — 3m) • 



» II. Si, parmi les nombres n,, n.,..., »„ cj sont égaux entre eux, le 

 nombre N doimé par la formule [a] doit être divisé par le diviseur (j. Dans 

 ce cas, la relation à laquelle le nombre T doit satisfaire, pour que les so- 

 lutions singulières soient écartées, toujours si jx= i, et généralement si /x est 

 différent de l'unité, devient 



j= '-{r- 1) _ 2^(n)-h t + 4, si « > 2, 



ou 



ou 



enfin 



T> — -^ — -it-h t -h 2, s\ n 



1> h 2, SI n < 2. 



)) III. Pour démontrer le théorème (T), on commence par supposer que 



la courbe U'" possède - (m — i) [m — a) points doubles, de telle sorte que 



ses points puissent être déterminés individuellement. Le nombre IN', qu'on 

 trouve alors, ne diffère évidemment de celui N, qui convient à une courbe 

 générale du degré 7», que d'une quantité N", qui représente précisément 

 l'influence diminutive des points doubles introduits. Donc, en déterniinanl 

 convenablement ce dernier nombre, et l'ajoutant au nombre N', ou obtient 

 celui N qu'il s'agit de trouver et qui est donné par la formule (a). 



