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 » Je n'entrerai pas ici dans les détails de cette démonstration, qui est 

 nécessairement un peu longue. Je me bornerai à dire que, dans la for- 

 mule {a), le premier terme 



1=0 1=0 



i = t i — l — i 



c'est-à-dire 



j ti'=iJ..{n,+ i){n.+ i)...{n,-hi)[rm-l{n)-p] {nn-I{n) - p - j]... 

 ^'^{ X [rm — -2{n)-p - t-hi], 



est précisément le seul qui appartienne au cas d'une courbe U'" douée de 

 - {m — i) [m — 2) points doubles, tandis que la somme de tous les autres 

 représente l'influence diminutive de ces points doubles. 



» IV. Une conique est une courbe dont les points se déterminent indi- 

 viduellement; il en est de même d'une ligne droite. Dans ces deux cas, 

 on a N" = o, et la question proposée est résolue parla formule (/;). 



» Le cas de la ligne droite, c'est-à-dire m = i , donne lieu à un théorème, 

 exprimé par la formule {b), qui pourrait trouver son application en al- 

 gèbre; car il exprime une condition à laquelle doivent satisfaire les coeffi- 

 cients d'une équation générale du degré m en ,r, pour que celte équation 

 possède t groupes de racines égales, multiples d'ordres «,, 7/3,..., lie, res- 

 pectivement. 



» V. Cette solution d'un problème très-général et difficile, fournit un 

 exemple du rôle utile que peuvent jouer, dans les questions de géométrie, 

 les courbes dont les points se déterminent individuellement. On connais- 



sait deja celles qui sont douées d un point m — i , et j ai même dit 

 quelque part (*) comment on peut avoir à considérer des divisions liomo- 

 graphiques sur leur périmètre. Mais, bien qu'un point multiple d'ordre m— i 



soit l'équivalent de - {m— i) [m — 2) points doubles, et que l'existence bien 



tiiples 



constatée de courbes douées de points m — i pût ainsi, en vertu de la 



(*) Nouvelles Annales de Mathématiques , t. III, i" série, année 1864. 



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