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 donnée U'", et en changeant un peu la forme, les théorèmes de M. de Jon- 

 quières peuvent s'énoncer comme il suit : 



» 1° Le nombre des contacts des courbes C qui ont un contact de 



r(r-\- 3) 



l'ordre n avec une courbe fixe C", et qui passent en outre par -^^ n 



points donnés, est 



= -(« + i) [nM -+- [ir — 2/2)02]. 



» Observation. — Énoncé de cette manière, le théorème s'applique même 

 au cas re= o. En effet, pour n = o, le nombre donné par le théorème 

 est = mr, qui est le nombre des contacts de l'ordre o (intersections 

 simples) de la courbe donnée U" avec une courbe déterminée de l'ordre r. 



» 2° Le nombre des contacts de l'ordre («'= ou < «) des courbes C" 

 qui ont deux contacts des ordres n et n' respectivement avec une courbe 



fixe U'", et qui passent en outre par — n — n' points donnés est 



= j{ji + i) [n'-h i) j [71M + {ir — 2/î) m] [n'M + (ar — in') m] 

 — 1 («- + ?in'-i- n'- -h n + n') M 



+■ [— 4'' (« + «'+ + 4 («^ + "«' + '''^ + fi ■+- «')] 



ml 



» Observation. — Énoncé de cette manière, le théorème s'applique même 

 aux cas «'=: o, et n'= n. En effet, pour n'=o, le nombre donné par le 



théorème est = [rm — n — i) ■ - {n -h i) [nM -+- (a?' — in) m]^ ce qui est 



égal au nombre des courbes C qui ont avec la courbe donnée U" un 

 contact de l'ordre n, multiplié par rm — n — i, nombre des contacts de 

 l'ordre o (intersections simples) de chactuie de ces courbes avec la 

 courbe U'". Et pour n' = n, le nombre des contacts est le double du nombre 

 des courbes C. 



» Je remarque que les deux théorèmes peuvent se démontrer de la ma- 

 nière dont je me suis servi en cherchant le nombre des coniques qui satis- 

 font à cinq conditions données; car, en remplaçant la courbe m par l'en- 

 semble de deux courbes m et m', on trouve que pour le théorème 1° le 

 nombre cherché est 



= «M + p™, 



où les coefficients (a, |3) ne dépendent que de (r, n); et puis, en supposant 

 que ce théorème soit connu, on trouve que pour le théorème 2° le nombre 



