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 cherché est 



= j{n + \) {n'+ i)[n'M-\-{ir— an)m][n'M-h {2r — 2n') m]-+- ain + ^m, 



où de même les coefficients (a, /3) ne dépendent que de (r, n). 



» Or voici comment on peut déterminer les coefficients dans les deux 

 théorèmes : 



» Pour le théorème i°, on démontre que pour U"" une droite, le nombre 

 cherché est = [n-\-i){r — n); et que pour U'" une conique, le nombre 

 cherché se déduit de là en écrivant ar au lieu de 7"; c'est-à-dire, pour la 

 conique, le nombre est = (« -+- 1) (ar — «). On a donc 



/3 = (7z+i)( r— n) = L[n-^i){^r- 2ti), 

 2a +■ 2/3 = (« -Hi) (2/- — Tl), 



et de là 



a z=^{n-+-i)n; 



ce qui achève la démonstration. 



» Pour le théorème a", on démontre que pour U"" une droite, le nombre 

 cherché est = [n-hi) (/z'+i) (r — n — n'){r — n — n' — i), et que pour U'" 

 une conique, le nombre cherché se déduit de là en écrivant a r au lieu 

 de r; cest-à-dire, pour la conique, le nombre est 



= (« 4-i) [n' -\-\) (ar — n — n') [ir — ti — n' — i). 

 On a donc 



(«-l-l)ln'+l)( r—n — n'){ r— n — n'— i) = (n -hi]{n'+l){ r—ri){ r — n' ) -h fi , 

 (/2-t-l) (n'-hl)(2r—n — n']{2r — n — n' — i) z= [n -h \) [n' -h t) (ir — n){7.r—n') + 2 a -1-2 p. 



Ce qui donne pour a et j3 les valeurs 



K = i(n + i) [7i'-h-i)[— ■?. [n- -h r?7i' -+■ n'- -+- n + n')], 



/3 = i (« + 1) {n' + i) [- 4r (n + «' + i) 4- 4 («' + "«' + «" + « + «')]; 



et la démonstration est ainsi achevée. 



» Je remarque que sous les formes ici données les deux théorèmes s'ap- 

 pliquent à une courbe U"" avec des points doubles, mais sans point de 

 rebroussement. 



