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1) Le. ihéot'èiiie dont je (ue suis servi pour la delerinination des coeffi- 

 cients peut s'énoncer sous la forme plus générale que voici, savoir : 



« En dénotant par f[r, «, n',...) le nombre des courbes C qui ont avec 

 )) une droite donnée des contacts des ordres n, n',..., et qui passent 



» en outre par — '■ n — n'... points donnés, alors si, au lieu de la 



)' droite donnée, on a une conique donnée, le nombre des courbes C 

 » sera = y (ar, «, n',...). » 



" En effet, l'équation de la courbe cherchée C contient des coefficients 

 indéterminés, lesquels, par les conditions de passer par les points donnés, 

 se réduisent linéairement à n -h ii'. . . -\-i coefficients; en dénotant par 

 (A, ?>,■■■) ces coefficients, l'équation de la courbe contiendra linéairement 

 (A, R,...) et sera ainsi de la forme (A, B,...)j[x, r, z)'" = o. L'équation 

 de la droite donnée est satisfaite en prenant pour (x,j)", z) des fonctions 

 linéaires déterminées d'un paramètre variable d ; donc, en coupant la 

 courbe C par la droite donnée, on obtient une équation (A, B,...^|5, i j'^ = o, 

 et en exprimant que cette équation ait n racines égales, n' racines égales, etc., 

 on obtient entre (A, B, C,...) des équations, lesquelles, en éliminant tous les 

 coefficients, excepté deux quelconques (A, B), conduisent à une équation 

 finale (A, B)p =: o, et le degré p de cette équation est ce qu'il s'agissait de 

 trouver, le nombre des courbes C". Si au lieu d'une droite donnée on a une 

 conique donnée, il n'y a rien à changer, sinon que les coordonnées {'V,j\ z) 

 doivent être remplacées par des fonctions quadratiques de ô ; on a ainsi une 

 équation (A, B,...) {9, i)^'^^o, qui conduit à une équation finale (A, B)^'=o, 

 où // est la même fonction de (ar, /2, «',...) qu'est /; de (/■,»,«',...) ; et le 

 nombre des courbes C est = p'. Le théorème est donc démontré. Et, 

 précisément de la même manière, on démontre le théorème encore plus 

 général : 



« En dénotant par (p (r, n, 72',...) le nombre des courbes C qui ont avec 

 » une droite donnée des contacts des ordres n, n', .-•, et qui passent en 



» outre par — = — n — fi ... [jouits donnes, alors si, au iieu de la droite 



» donnée, on a une courbe unicursale donnée de l'ordre ni, le nombre des 

 » courbes C est =; (p (w/', ti, n',...). » 



» On aurait pu se servir directement de cela pour démontrer les théo- 

 rèmes i"et 2°. Par exemple, pour le théorème 1°, la considération de la 

 courbe unicursale U"* donne 



aM + /3(« =: «(2/72 — 2) -f- j3 /;/ = (« + I ; [inr — n); 



c. R., ;f66, 2"'» Semestrc.{J. LXIIl, : " 17. «^9 



