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» U est une courbe d'ordre m, douée de points multiples d'ordre 



1 . -1 , ("' — ('" — 2) . 111 1 1 



quelconque, eqiuvalant a — ■ — points doubles; de sorte que les 



points de cette courbe se déterminent individuellement, au moyen d'un 

 faisceau de courbes d'un autre ordre {*). 



» On demande te nombre N des courbes Cp d'ordre p, qui passent par 

 deux voints multiples d'ordre r, r' de U, et ont avec U deux contacts d'ordre 

 p, p' en deux points donnés^ et deux contacts d'ordre n, n' en des points non 

 déterminés, et satisfont, en outre, à d'autres conditions données, qui com- 



plelent le nombre ■ • 



» Nous indiquerons par e^ la condition de passer par un point multiple 

 de U, d'ordre /', par Up la condition de contact d'ordre p en un point donné; 

 par U" la condition de contact d'ordre n^ en un point non déterminé; 



par nZ les conditions qui complètent le nombre^— ^- 



» La valeur de n qui réjjond à l'énoncé ci-dessus est 



n = 



li[p±2)_y,^^^^,^^(^^>^,^^ 



Cela posé, la question se peut exprimer ainsi : 



» Trouver'^ (e^, e,-, U„, U^s U", U°', nZ). 



» Solution. — Par un point x de U passent des courbes C^ ayant avec U 

 un contact d'ordre n' — i en ce point, et satisfaisant aux conditions 



(e^, e/, Up, Up', U", rrZ). Ces courbes sont déterminées, parce qu'il y a 



^-^ conditions. Désignons leur nombre par 



N(e„^,s Up, Up-, U,,_,,U«, ttZJ. 



Elles coupent U chacune en [mp — r — r'— [p -{- \) — [p' + i) — in + \) —n'] 

 points «; ce qui fait 



[,„p_r-/'-(p-M)-(p'+i)-«-«'-i].N(e,,e,., Up,Up', U„'_,,U", TiZ) 



points u. 



« Par un point u passent des courbes Cp satisfaisant aux conditions 

 [Sr, e^', Up, Up', U", ttZ) et ayant en outre, avec U, un contact d'ordre n'— i 



(*) Comptes rendus, t. LXII, p. i354, séance du 25 juin 1866. 



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