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» L'extraction des racines offre un autre exemple de nombres constam- 

 ment croissants, toujours au-dessous de nombres fixes assignables, mais qui 

 ne tendent pas, comme dans le premier cas, vers la valeur d'un nombre dé- 

 terminé; de sorte qu'il y aurait des nombres qui auraient des racines, et 

 d'autres qui n'en auraient pas, quoique aussi voisins qu'on voudrait de 

 nombres qui en auraient. C'est pour faire disparaître cette anomalie de la 

 science que l'on a donné une nouvelle extension à la dénomination de 

 nombre. 



» On voit que les idées de limite et à' incommensurable se présentent à la 

 suite des premières opérations sur les nombres. Il ne serait pas à propos, 

 sans doute, de les trop développer dès l'abord; mais il faut nécessairement 

 en parler, et de manière que les élèves ne s'imaginent pas qu'il y ait 

 là quelque mystère à pénétrer. 



» La résolution de quelques questions simples nous donne l'occasion de 

 faire ressortir la méthode analytique, et en même temps fait sentir la néces- 

 sité de notations et de signes, soit pour abréger l'écriture, soit pour géné- 

 raliser les résultats. L'emploi des lettres se trouve ainsi introduit naturelle- 

 ment pour conduire à la généralité des solutions de questions de même 

 espèce. Nous ne pensons pas qu'il soit bon de séparer autant qu'on le fait 

 la résolution parliculière et la résolution générale, et de partager la science 

 des nombres en deux parties distinctes : l'Arithmétique et l'Algèbre, dont 

 il est d'ailleurs si difficile d'assigner la limite. Un pareil procédé ne peut 

 que jeter de l'obscurité sur l'ensemble de la science, et faire mal compren- 

 dre l'objet qu'on se propose dans les deux branches que l'on sépare si radi- 

 calement. 



» Les grands avantages que les sciences retirent des généralisations, et 

 dont nous avons déjà donné des exemples, portent à profiter de tous les 

 moyens pour y parvenir, pourvu qu'ils n'aient rien de contraire à ceux qui 

 ont été admis auparavant. Un des plus importants, et dont l'application se 

 présente le plus souvent, consiste dans l'emploi des quantités négatives. 

 Nous les introduisons aussitôt que leur utilité se fait sentir, et l'on voit clai- 

 rement dans quel but et sous quelles conditions. A mesure que de nouvelles 

 occasions se présentent, on reconnaît toujours que la manière de les envi- 

 sager est la même, et aucun nuage ne peut rester à leur sujet dans l'esprit. 

 Les conditions de leur emploi empêchent que l'idée vienne de démontrer à 

 priori des règles pour les opérations sur les quantités négatives isolées. Mais 

 comme d'illustres géomètres ont pensé autrement, nous avons cru devoir 



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