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 discuter leurs théories et en bien montrer le vide, afin qu'elles ne puissent 

 séduire rimagination plutôt que le jugement dos élèves. 



» Nous parlons encore des moyens de généralisation que présentent les 

 imaginaires, et nous pensons qu'elles ne donneront pas lieu davantage à la 

 moindre difficulté. 



» Ce sont là les points les plus délicats des éléments, et nous nous dis- 

 penserons d'indiquer toutes les théories dont il est sommairement question 

 dans l'ouvrage. 



» Je passe à la seconde partie, qui se rapporte à la science de l'étendue. 



» Il m'a paru nécessaire d'établir les premières propositions avec tous 

 les détails que comporterait un cours élémentaire rigoureux; et ce n'est 

 pas seulement à cause de l'intérêt que présentent toujours les premières 

 déductions des axiomes fondamentaux d'une science; c'est surtout pour 

 signaler la différence entre la démonstration et l'enchaînement de ces pro- 

 positions chez les anciens et les modernes. 



» Cette différence essentielle tient à la définition de la ligne droite, qui 

 n'est pas la même pour Euclide et Archimède, que pour les auteurs les plus 

 éminents des Traités modernes de Géométrie. 



» Clairaut, Legendre, Lacroix définissent la ligne droite le plus court 

 chemin d'un pointa un autre, et supposent ainsi qu'on a la notion de l'éga- 

 lité de longueur de lignes qui ne sont pas superposables. Or cette notion 

 est une des moins sinqiles de la Géométrie, et l'on s'accorde assez géné- 

 ralement aujourd'hui à la faire dépendre de la considération des limites. 

 Connnent pourrait-on l'introduire dans la définition de la ligne la plus 

 simple qui se présente au début de la science, et à laquelle on ramène 

 toutes les autres? Nous espérons qu'elle disparaîtra de l'enseignement, et 

 qu'on adoptera avec nous celle d'Euclide. 



» Ce grand géomètre était si éloigné d'admettre à /^riori les notions rela- 

 tives à la comparaison des lignes non superposables, que, même après avoir 

 trouvé le rapport des surfaces de deux cercles, il ne dit rien du rapport de 

 leurs circonférences. Cette découverte était réservée à Archimède, ainsi que 

 toutes celles qui se rapportent à la comparaison des surfaces courbes. Il y 

 est parvenu au moyen de principes nouveaux, qu'il a demandé qu'on 

 accordât sans démonstration, et parmi lesquels se trouve celui-ci, que la 

 ligne droite est plus courte que toute ligne courbe terminée aux mêmes 

 points; mais il ne prend pas cette propriété comme définition de la ligne 

 droite. 



» On conçoit facilement combien doit différer l'exposition des premières 



