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 toujours, même par de simples relations linéaires, de celles des systèmes 

 les plus simples, où ces conditions consistent à passer par des points fixes 

 et à toucher des lignes données. D'après cela, on conçoit l'intérêt qui s'at- 

 tache à la détermination des valeurs des caractéristiques de ces systèmes élé- 

 mentaires. 



M Les cas où l'on sait écrire immédiatement les valeurs numériques de 

 ces caractéristiques ont été bornés, jusqu'à ces derniers temps, au simple 

 faisceau, et peut-être à quelques systèmes choisis et très-rares. Mais il y en a, 

 comme on va le voir, beaucoup d'autres, où cette détermination exacte est 

 possible et même facile. Les cas dont il s'agit n'ont pas un caractère acci- 

 dentel ni imprévu; ils forment, au contraire, une série continue, qui a un 

 point de départ fixe et une limite précise, connue à piiori. 11 y a pour cela 

 une règle très-simple que nous allons expliquer. 



» La totalité des systèmes élémentaires se partage en deux catégories 

 distinctes : l'une, dont on peut calculer immédiatement les caractéristiques; 

 l'autre, dont tous les systèmes qui la composent contiennent des solutions 

 singulières (*) qui, par leur présence, opposent à cette détermination une 

 difficidtc le plus souvent insurmontable. Si l'on suppose tous les systèmes 

 élémentaires rangés dans l'ordre décroissant du nombre des points fixes qui 

 font partie des conditions données, la première catégorie comprend tous 

 ceux pour lesquels le nombre T des points fixes satisfait à la relation 



(a) T> "'i "'-'> + !. 



Les valeurs respectives des deux caractéristiques sont, pour ces systèmes 

 consécutifs, sans interruption, 



(,!,«), {a, a'), (a% «■'), («',«*),..., 



dont les premières (i, a) se rapportent au faisceau de courbes, et qui toutes 

 dérivent de la formule v = 2 [m — i) y., en faisant, pour abréger, 



c( = 2 [m — i); 



m est le degré commun des courbes du système. 



1) On eu coriclut que, dans chaque degré de courbes, il y a 2[iii — i) 

 systèmes élémentaires dont les caractéristiques sont toujours connues 



(*) Ces solutions singiilièics sont cr<'spi'cps très variées; mais elles ont toutes un earactère 

 commun; car elles consistent toujours, dans les systèmes de courbes de même dej;rè, en des 

 courbes décomposées, qui possèdent une ou plusieurs branches multiples, et, en outre, celles 

 qui se présentent les premières dans la hiérarchie descendante des systèmes élémentaires sont 

 les courbes qui ont une (traite double comme branche multiple. 



