( 793 ) 

 immédiatement, sans qu'on ait à se préoccuper des solutions étriingères 

 qu'ils ne peuvent contenir. 



» Dans la théorie des surfaces, les caractéristiques sont au nombre de 

 trois, p., V, p, et il existe des inolits analogues d'attribuer luie importance 

 particulière à celles des systèmes élémentaires, c'est-à-dire des systèmes où 

 les conditions données sont simplement des points fixes, des droites tan- 

 gentes et des plans tangents. 



» Ici encore, la totalité des systèmes élémentaires se partage en deux 

 groupes consécutifs, dont l'un ne peut contenir de solutions singulières, 

 tandis que l'autre en renferme nécessairement. Dans le premier groupe, les 

 valeurs des caractéristiques se calculent de proche en proche, en commen- 

 çant par celles dujaisceau des surfaces, à l'aide des deux formules 



V = 2(/« — l) fV. et (5 = 3(7?Z — i) p. (*). 



» Si l'on suppose, comme précédemment, qu'on range tons les systèmes 

 élémentaires dans l'ordre décroissant dri nombre T des points donnés, le 

 premier groupe comprend tous ceux pour lesquels on a 



_, ^ m(m — i) fm -f- i) . , ... , . , 



1° 1 > — ^ -+- 2, SI les conditions sont exchisivement des 



points et des droites tangentes, avec ou 



sans l'adjonction d'unseif/plan tangent; 



,„ m im — i) (m -h i) ». , i • • ■ 



2" 1 > — ^ ^ f- n, pour toutes les autres combinaisons des 



conditions élémentaires. 



» Pour montrer dans quelle mesure les règles précédentes donnent sa- 

 tisfaction au desideriilitm qui fait l'objet de la présente Note, supposons 

 qu'il s'agisse des courbes et des surfaces du second ordre. Dans les svs- 

 lèmes élémentaires de coniques, les caractéristiques s'en déduisent toutes 

 exactement, soit directement, soit par la transformation polaire. Dans les 

 surfaces du second ordre, les systèmes élémentaires y sont au nombre de 45, 

 et les mêmes formules, prises dans les limites indiquées, font connailre 

 les valeurs exactes des caractéristiques pour i8 d'entre eux; ce qui est 

 une portion très-nolable de la totalité de cas possibles. 



)) Au reste, en faisant remarquer, par ces deux exemples, dans quelle 



(*) Nous avons fait connaître ces formules, pour la jiremière fois, dans un article insère 

 au Giornnle lii AJnlemntic/ie [Wynvion du mois de janvier l866j. 



I()5.. 



