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 mesure les principes dont il s'agit résolvent le problème proposé, nous n'en- 

 tendons niiileineiit dire que nous ayons surnionlé dans la même proportion 

 les difficultés qu'il présente quand on l'envisage dans son ensemble. Les 

 cas qui s'y montrent rebelles, fussent-ils moins nombreux encore, peuvent 

 être ou paraître beaucoup plus difficiles à aborder que ceux qui sont déjà 

 résolus. Mais on se tromperait si, par ce seul motif qu'il reste beaucoup à 

 faire, on supposait que la solution complète de la question n'a pas fait un 

 pas, et si l'on croyait que la connaissance des caractéristiques de tous les 

 systèmes élémentaires peut seule constituer un progrès dans cette partie de 

 la Géométrie. Un exemple iiitéressant par lui-même, et qui n'était pas sans 

 difficulté, va nous servir à montrer le contraire. Qu'il s'agisse de déterminer 

 le iiond)re des courbes d'ordre m qui passent par t points fixes et qui 



touchent '—^ — t courbes d'ordre quelconque, notre théorie conduit 



directement (*) à une formule que M.Bischoff a donnée pour la première fois 

 dans le tome l.Vl du Journal de Crelle (i858), et qui est exacte toutes les 

 fois que le nombre des points donnés satisfait à la condition (a), ainsi que 

 M. Zenthen en a, de son côté, fait expressément la remarque dans son très- 

 intéressant Mémoire intitulé : N/t Bidrag til lœren om sjstemer af kecjlesiiii 

 (p. loo, septième proposition). 



» Nous pouvons également citer, à l'appui de ce que nous venons d'avan- 

 cer, quoique dans un ordre de questions un peu différent, la formule géné- 

 rale, relative aux contacts multiples de courbes d'ordre quelconque avec 

 une courbe fixe, qui fait le sujet d'une Noie insérée au Compte rendu du 

 24 septembre dernier, et qu'une autre communication (mentionnée à la 

 page 55 1 du même recueil) étendait, sans la modifier, aux cas où la courbe 

 Hxe possède des points doubles, et à celui où les courbes variables doivent 

 avoir des contacts d'ordre quelconque, non-seulement en des points indé- 

 terminés, mais en même temps en des points désignés de cette courbe. 

 Cette formule unique convient, sans avoir de réduction à subir, à tous les 

 cas de la question qui ne comportent pas de solutions singulières (cas 

 connus à priori) et, en ce qui concerne particulièrement les coniques, donne 

 ainsi d'un seul coup un grand nombre de résultats intéressants, dont cha- 

 cun semblait exiger une formule particulière. 



» Nous bornerons ici ces considérations, que nous avons plus longue- 



(*) Comme nous l'avons fait voir dans le Mémoire précité [Journal de Matliéinatiqdcs, 

 t. VI, 2'- série; iHlii , Théorème IX). 



