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Les deux génératrices qui se croisent en chaque point de cette courbe 

 partent de deux points de C dont les abscisses sont égales et de signes con- 

 traires. Appelons p le point où une génératrice inii rencontre cette nou- 

 velle conique : les coordonnées de ce point p sont dans des raj)ports con- 

 stants A', A" avec celles des points m, n comptées sur les mêmes axes res- 

 pectivement, ainsi que cela a lieu pour les abscisses des deux points in^ n. 

 Il s'ensuit que la troisième conique, associée à l'une des deux premières, 

 peut servir à la construction des génératrices de la surface, par la loi rela- 

 tive aux deux premières. 



» M. de la Gournerie fait remarquer que les trois rapports k, k', k" ont 

 entre eux la même relation que les trois rapports anharmoniqnes d'un 

 système de quatre points en ligne droite. 



)) 11 reconnaît aussi que les six diamètres des trois coniques situés sur 

 les trois droites d'intersection de leurs plans ont entre leurs carrés une 

 relation fort simple : le produit des carrés de trois diamètres est égal et de 

 signe contraire au produit des carrés des trois antres. Dans chaque pro- 

 duit, on le conçoit, entrent trois diamètres appartenant aux trois coniques 

 et de directions diftérenles. 



» Quant aux asymptotes (réelles ou imaginaires) des trois coniques, elles 

 sont trois à trois sur quatre plans; c'est-à-dire que, quatre d'entre elles 

 étant prises pour côtés d'un angle tétraèdre, les deux autres sont les droites 

 d'intersection des faces opposées de cet angle. En d'autres termes encore, 

 leurs six points situés à l'infini forment les quatre sommets et les deux 

 points de concours des côtés opposés d'un quadrilatère. 



M M. de la Gournerie appelle cône direrleur de la surface le cône dont 

 les arêtes sont parallèles aux génératrices de la surface; il trouve que ce 

 cône est du second ordre. 



» Les génératrices de la surface sont parallèles deux à deux. Cela est 

 évident; car, si mn est une génératrice, les deux points m, n se corres- 

 pondent sur les conicjues C, C : dès lors les deux points ni', n' , diamétra- 

 lement opposés, se correspondent aussi, et la génératrice m' n' est paral- 

 lèle à mn. 



V 11 suit de là que les points des génératrices situés à l'infini sont sur 

 une ligne doidîle de la siu'face; en d'autres termes, l'intersection de la sur- 

 face et du plan situé à l'infini est une ligne double. Cette courbe est sur le 

 cône directeur; c'est donc une section conique. Ainsi, la surface possède une 

 quatrième conique pour ligne double, laquelle est située à iinfnn. 



)> T^a surface a quatre génératrices dans le plan de chacune tles trois 



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