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 teiir nppolle tétraèdre de symétrie. Les quatre coniques doubles de l:i surfac*; 

 sont situées dans les plans des quatre faces du tétraèdre. On voit sans diffi- 

 culté comment àcxw quelconques des quatre coniques peuvent être prises 

 pour directrices, et ce que deviennent totites les propriétés de la quadrispi- 

 nale particulière considérée d'abord par M. de la Coin nerie. 



» Séries conjuguées de surjnces du second ordre, et de quadrispinales. — Une 

 droite prise arbitrairement dans l'espace détermine un hyperboloide dans 

 lequel chaque sommet du tétraèdre a pour plan i)olairc le plan de la face 

 opposée. Si cette droite est une génératrice de la quadrispinale, l'hyperbo- 

 loïde a sept autres génératrices communes avec la quadrispinale. Des huit 

 génératrices connuiines aux deux surfaces, quatre appartiennent à un sys- 

 tème de génération de i'hyperboloïde, et quatre à l'autre système. Ces géné- 

 ratrices se rencontrent deux à deux en seize points situés quatre à quatre 

 sur les quatre coniques doubles. 



)' On a ainsi un système d'hyperboloïdes dont chacun est déterminé par 

 ime génératrice de la quadrispinale. Quatre hypcrboloïdes se réduisent à 

 de simples coniques situées dans les quatre plans des coniques doubles. 



» M. de la Gournerie donne l'équation générale de ce système d'hyper- 

 boloïdes, laquelle comprend aussi des ellipsoïdes, parce que des généra- 

 trices de la quadrispinale peuvent être imaginaires, par couples. 



» Il reconnaît que ces hyperboloïdes ne sont pas autre chose qu'im sys- 

 tème de surfaces du second ordre inscrites dans une même dévelo|)pnble. 



» Cette développable est circonscrite à la quadrispinale, et à une infinité 

 d'aulres quadrispinales ayant le même tétraèdre de symétrie, et conjugées 

 aux mêmes surfaces du second ordre. La développable appartient elle- 

 même, comme surface individuelle, au système de ces quadrispinales. 



i> Un système d'hyperboloïdes peut appaitenir à une infinité de quadri- 

 spinales qui forment une série dans laquelle chaque surface est déterminée 

 par une valeur particulière d'un certain paramètre. 



)) Par toute ellipsimbre tracée sur une quadrispinale, on peut faire passer 

 une seconde quadrispinale de la série. 



» En général, deux quadrispinales de la série oui quatre ellipsimbres 

 dans leur intersection, qui, considérée complètement, est une ligne du 

 soixante-quatrième ordre. 



» Une quadrispinale et un hyperboloide ont huit arêtes conuiunies; 

 leiu- intersection du seizième ordre est complétée par deux ellipsimbres. 



» Nous avons dit (pie par une ellipsimbre tracée sur une quadrispinale, 

 on peut faire passer une seconde quadrispinale; on |^eut aussi faire passer 

 deux siufaces de la série d'hyperboloïdes : ces quatre surfaces ont entre 



