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 cessivement < ^ o, i, 2, ...,« — i. Il est avantageux d'y introduire l'expo- 

 sant e, auquel appartient a. Comme on a ind. a = a.- ■> « étant premier 



à e, la formule devient 



P — I 



' (■-+-«') 



(A) a:~g - 



j) La possibilité exige que ne soit diviseur de /j — i. 



» Sous cette forme, on voit facilement à quels exposants appartiennent 

 les racines, et l'on a ce théorème : 



» Théorème. — Si dans la congruence 3c"^a, mod. p, a appartient à 

 l'exposant e, en posant n = e'm, e' ne contenant que des facteurs premiers 

 diviseurs de e, et m étant premier à e, on verra que, pont tout diviseur M 

 de m (i et m compris), la congruence aura e'9(M) racines appartenant à 

 l'exposant M. Toutes les racines seront classées en vertu de la formule 



m = f{rii) -+-... + (f[m") -+- (f{in') 4- i, 



où r, m', in'\ . . . , in représentent tous les diviseurs de m. 



» J'omets la démonstration; il suffit de lire le n" 71 des Disquisiliones 

 arithmeticœ pour pouvoir la développer. 



» 2. On peut donner une autre formule qui fasse voir plus simplement 

 encore que la formule (A) à quel exposant appartient une racine d'une 

 congruence binôme. Cette formule dépend d'une classification des nom- 

 bres 1,2,...,/) — I. 



» On classe ces nombres ainsi qu'il suit, en les regardant comme les 

 restes des puissances i, g-, g", . . . ,g', . . . , g''"' d'une racine primitive g. Soit 

 généralement gi le reste de g' divisé par p, on emploie dans la théorie des 

 résidus de puissance J''""\ pour le module p = ef -i- i,\a classification 

 bien connue 



g/z, gfz+t ,•••■> 0/2+/- 1 • 



Chacune de ces formules contient e nombres en posant successivement 



z = o, I, 2, . . . , e — I. 



1° Les nombres gf^ sont des résidus de puissance y"""; ils sont racines de 

 la congruence x*E^i, mod. /j. 2" I^es formules g/z+i, "• ,g/z+r ■,-•■, //-+/_, 

 forment f — i classes de non-résidus de puissance J ''"'", car ils ne sauraient 

 être des résidus de puissance J'""". On peut réunir ces y classes en autant 

 d'ordres que / a de diviseurs, en mettant dans un même ordre toutes les 



G. R., 1866, -.1°"^ Semestre. (T. LXllI, N» 2G.) l45 



