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 » Pour u premier à n, on aura les racines qui appartiennent à l'ex- 

 posant ne. Pour u ayant avec n un commun diviseur maximum ?i' , on aura 



les racines appartenant à l'exposant —,• 



» J'omets la démonstration, qui se présente d'elle-même. 



u 4.. Comme il faut quelques essais plus ou moins longs pour trouver b, 

 il est préférable de chercher une racine primitive comme il suit : 



» Problème. — Déduire de la période du nombre 2 (on choisit ce 

 nombre pour abréger) la période d'un nombre appartenant à l'exposant 

 p — I . On suppose que 2 appartient à l'exposant e, 



» Solutioti. — Soit b un nombre non compris dans la période de 2, cher- 

 chez le premier des restes ^0,^3,..., bf qui soit compris dans la période de 2, 

 et donne b,i = a^ ou b"^a'. Le théorème précédent fera connaître un 

 nombre appartenant à l'exposant ne, et l'on en formera la période. Si l'on 

 a ne <i p — i, on déduira semblablement du nombre appartenant à l'ex- 

 posant ne un nombre appartenant à l'exposant n'ne, et ainsi de suite; on 

 tinira par obtenir un nombre appartenant à l'exposant p — i- 



» Remarque. — Pour les modules /j = 8ç =t i , il sera bon, pour abréger, 

 de prendre pour b un non-résidu quadratique; alors, tant que l'on aura 

 p < 1000, on verra que le calcul d'un nombre appartenant à l'exposant ne, 

 et celui d'un second nombre appartenant à l'exposant n'ne, conduisent 

 presque toujours au nombre qui appartient à l'exposant p — i- 



» Cette solution est analogue à celle donnée par Jacobi dans l'introduc- 

 tion de son Canon aritlimeticus, p. xvm : Methodus cjeneralis pro numéro 

 primo p, numéros i, 2, 3, ..., /j — 1 exhibendi ut diversarum numeri ali- 

 cujus polestalum residua. Mais la démonstration précédente est tout autre. 

 Les calculs me paraissent rangés dans un ordre qui les facilite, et le chan- 

 gement de 10 en 2 entre pour beaucoup dans l'abréviation. 



» Dans le Compte rendu du iS décembre i865, j'ai donné, mais sans 

 démonstration, un cas particulier du théorème n° 3. Dans une seconde 

 Note, j'exposerai plus en détail le moyen de simplifier la construction du 

 Canon arilhmeticus, et je ferai connaître la méthode due à Jacobi, dont la 

 mienne n'est, en réalité, qu'une simplification que je crois fort utile, sur- 

 tout si l'on veut prolonger le canon de p <. 1001 à p <^ 20o3 ou 25o3. » 



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