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 (et en particulier Cauchy dans son analyse nlcjéhrique) n'ont pas siiftisam- 

 ment précisé ce qne l'on devait entendre par \\u& série double convergente. Je 

 fais connaître quelques règles élémentaires de convergence, après quoi je 

 donne lui théorème qui réalise un vœu exprimé autrefois par Abel dans ses 

 Lettres à Holmboë. Abel s'était plaint de voir différentior une fonction en 

 différentianl les ternies de son développement en série; il s'était plaint éga- 

 lement de l'habitude que l'on avait alors de regarder les séries comme re- 

 présentant des fonctions continues, lorsque leurs termes étaient eux- 

 mêmes des fonctions continues. Les plaintes d'Abel étaient fondées, et 

 dans ces derniers temps j'ai été assez heureux pour démontrer le théorème 

 suivant : 



» Lorsque les différents termes d'une série sont îles fonctions synectiques 

 à l'inférieur d'im certain contour A, et que cette série reste convergente à 

 l'intérieur du contour en question : i° elle représente une fonction synec- 

 tique à l'intérieur de ce contour; 2" on peut différentier ou intégrer cette 

 série en dilférentiant ou en intégrant chacun tie ses termes. Ce théorème 

 cesse d'être vrai en général pour les points situés sur le périmètre du con- 

 tour A. On explique ainsi plusieurs paradoxes : par exemple, la série 



sin2j: sinS.î- sin n.r 



sin ;r h 1 \- . . . -i (- . . . 



2 3 fi 



représente une fonction discontinue, bien qu'elle soit toujoiu-s convergente 

 pour lies valeurs réelles de jc. Cela tient à ce que cette série n'est pas con- 

 vergente'pour les valeurs imaginaires de .r, c'est-à-dire pour des points inté- 

 rieurs à un contour fermé. 



» Dans le Mémoire que je présente aujourd'hui, j'ai étendu ce théorème 

 aux séries doubles; à cet effet, j'ai généralisé certaines formules de Cauchy 

 sur le calcul des résidus qui sert de base à mes recherches. 



» Le but que je me propose est en définitive d'arriver à une démons- 

 tratio!) courte, facile à retenir et naturelle tie la formule de Lasranee 

 relative au développement des fonctions im|)licitcs à plusieurs variables. 

 Lagrange n'avait considéré que le cas d'une seule variable, I>apiace et Jacobi 

 ont étudié le cas de deux variables; mais aucun de ces illustres auteurs n'a 

 fait connaître la forme du reste ou les conditions de convcrsence des séries 

 qu'ils obtenaient. J'ai comblé cette lacune, et l'analyse, dans le cas que 

 j'ai traité, a l'avantage de montrer comment on pourrait traiter le cas de 

 trois variables. 



r., n., iSfiS, oV"^ Semrslrr. (T. [.XIM, N" 7.) /|0 



