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GÉOMÉTRIE. — Délenninalion du nombre des courbes d^ ordre r ijui ont un conlact 

 d'ordre [ n < irir] avec une courbe donnée d'ordre m, el qui satisfont, en outre, 



à — — 11 autres conditions quelconques ; par M. E. de Joxquières. 



« I. Si les conditions données, antres que celles du contact d'ordre //, 

 sont siinpleiuent de passer parties points donnés, la ipieslion proi)osée est 

 résolue p;ir le théorème suivant : 



» Théorème I. — Le nombre des courba C (jui ont un contact d'ordre n 



avec une courbe fixe []'", et qui passent, en outre, par n point: 



donnés, est écjal à 



[a) N = -ni [n ^ ij{2r -\- i?in — 'i/i] ['). 



» Pour le démontrer, on prouve que, si le théorème est vrai pour les 

 courbes C qui ont avec U'" un contact d'ordre n — i, et qui passent 



par -: Il ■+■ i points, il est vrai pour celles qui ont un contact 



d'ordre n et qui passent par un jioint de moins. Or il est vrai pour le 



contact du premier onire et i points; car on a, dans ce cas, 



N = /« ('/2 4- 2/' — 3), formule connue. D'où l'on conclut qu'il est vrai 

 |)Our toute valeur de ii. 



» Je réserverai pour un Mémoire plus étendu la démonstration dont je 

 viens de faire simplement connaître l'esprit. 



- n. De la formule [a] on iléduit, par une simple substitution numé- 

 rique, toutes celles que M. Zeuthen, savant professeur à Copenhague, a fait 

 connaître, pour des problèmes analogues, dans son beau Mémoire At(r /a 

 détermination des caractéristiques des systèmes de coni<ittL'S. 11 suffit d'y faire 

 /■ = 2 et de donnera n l'une des valeurs i, 2, 3, 4. En y supposant ti = 5, 

 on trouve N ^ 3m [5m — i i\ c'est-à-dire : 



» Le nombre des coniques qui ont un contact du cinquième ordre avec une 

 cijurbc U'"^ générale dans son degré, est égal à 3m [5m — ii). 



(*) Dans re ihcorcme cl dans Ions ceux qui suivent, la courbe fixe U'" est supposée ne 

 posséder aucun point double. Il est facile, mais ce n'est pas ici le lien, d'indiquer les modi- 

 fications que subissent les formules dans le cas où elle en jiossèdc. 



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