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» III, On conclut plus i^énéralement tic la formule (rt)que : 



» Le nombre des courbes d'ordre r, qui ont avec une courbe {]"' le contact 

 de Cordre le plus élevé possible, est é(jal à 



N = ^ inr{r-h i) (/■+ a) (inr -+- im — 3/' — 5). 



» En particulier, 



» Le nombre des courbes d'ordre r tnii ont un contact d'ordre avec 



une courbe d' ordre r + i est donné par la formule 



N = ^(/'-i)r(r+i)'(/-+2) . 



» Ainsi il y a 36 coniques dont chacune a un contact du cinquième 

 ordre avec une courbe du troisième degré; 3oo cubiques qui ont un 

 contact du neuvième ordre avec une courbe du quatrième degré, et ainsi 

 de suite. 



» IV. Si les conditions données, autres que celles du contact d'ordre n, 

 sont quelconques (*), on a le théorème suivant : 



Théorème II. — Le nombre des courbes d'ordre r qui louchent une courbe U'" 



par un contazl d'ordre n, et qui satisfont à — n autres conditions 



quelconqueSj est donné, en général, pin' la formule 



N = -m [n 4- i) (2/'+ nui — 3n), 



IX désignant le nombre des courbes C (jui passent jxtr n points donnés et satisfont 



ri'r-+-3) ... 



aux mêmes n conditions. 



« Je dis en général, parce qu il peut arriver que plusieurs des courbes C, 

 dont la fornude ci-dessus fait connaître le nombre, possèdent des branches 

 doubk-s ou multiples, formant ainsi des solutions singulières qu'il y aurait 

 lieu d'écarter du résultat final. Mais ce cas d'exception ne se présente pas si, 

 parmi les conditions communes auxquelles toutes les courbes C" doivent 

 satisfaire, se trouve celle de passer par des points donnés, et si le nom- 



(*) Quelconques, mais poiii tant étrangères à la combe U"', avec laquelle doit avoir lieu le 

 contact d'ordre n. 



