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 logues à celles dont on fait usage pour déniontrer la proposition relative à 

 un seul contact d'ordrew (*); je la donnerai ailleurs. 



» II. Si les conditions données, autres que celles du double contact, 

 sont quelconques, mais pourtant étrangères à la courbe U'", on a le théo- 

 rème suivant : 



» Théorèmk II. — Le nombre des courbes C/ (jni ont deux contacts, l'un 

 d'ordre n, l'autre d'ordre n'(n' > i, < n), ai'cc une courbe fixe U'", et qui 



satisfont à — • — n — n' autres conditions quelconques, élrancjères à ta 



courbe []'", est donné, en qéitéral, par lajorinule 



N = iJ.[n -|-i)(// + i) (//« — n — n') (rin — n — n' — i) 



ii\ 1 {'"'' — 3/n-l-2), ,.., .s 



{ù) ^ 4- ' {n -h n'){rm — n — n'— i ) 



(m'' — 3m -h •}.) 

 -^—^ 



[m- — 3m) nn' U 



p, désignant le nombre des courbes C qui passent par n + n' points fixes et salis- 



r . ' r(r + 3) , ... 



font aux mêmes — n — n conditions. 



» Pour que la formule [b) ne contienne aucune solution singulière, il 

 faut et il suffit, le plus souvent, que la condition de passer par des points 

 fixes fasse partie des conditions données, et que le nombre T de ces points 

 satisfasse à la relation 



» Cela est toujours vrai, par exemple, si les conditions données, autres 

 que celles de passer par les T points et de toucher la courbe U'", consistent 

 à toucher d'autres courbes fixes ou à les couper sous des angles donnés. 



» III. Si «'= 7i> I, le nombre des solutions est sous-double de celui 

 qu'indique la formule {b), ce qui donne lieu au théorème suivant : 



» Théorèmk III. — Le nombre des courbes C ipii ont un double contact 



d'ordre n(u > i) avec une courbe fixe V", cl ipii satisfont ù an 



autres conditions, est égal, en général, à 



1 N = - ( /i + 1 ) ( rm — 2 ra) ( rrn — ^n — i) 

 (c) < + [m- — '5in -\- 2)n{riii — 271 —i) 



I (m''— 3/« + 3.) , ., Q N .1 



f +' 4 (»r — o//i) /r . 



fjt, ayant la même, signification que ci-dessus. 



» La formule (c) ne contient pas de solutions singulières si l'on a, |x étant 



(*) foi> les Comptes rendus de V Académie des Sciences (séance tlu 3 septembre i8G6). 



