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égal à I, T = '"^''~'^ —211+6, quand /i>a, ou T = ' ^''~^' — 2n+/| si « = 2. 



Elle donne par exemple, pour le cas de r = 2, /i = 2 ; T = 1 , donc /j. = i , 



T^ = 9,„rm-2)(7«--7) (*). 

 Si p. est quelconque, les limites ci-dessus, relatives à T, excluent le plus 

 souvent les solutions singulières. 



» IV. Les formules précédentes supposent qu'on a n' > i . Le cas 

 de «' = I donne lieu au deux théorèmes suivants : 



» Théorème IV. — Le nombre des courbes C qui ont avec une courbe 

 fixe \J"^ deux contacts disluicis, l'un simple, l'autre d'ordre n >r, et qui satis- 

 font, en outre, à — — 11 — i autres conditions, est, en cjénérnl, donné par 



2 



la formule 



/ N = ft (/( + r) [1 [rni — n — \) [rm — n — 2) 



{d) + [m- — "im +-2){n-\-\)[nn — n — 1) 



( + (/«^ — ?>m + 2) [ni- — 3w) 7/], 



[j. ayant la même signification que ci-dessus. 



» Cette formule ne contient pas de solutions singulières si l'on a, p. étant 



égal à I, T^^-^ — ^ « + 4 quand ti > 2, ou T J — 71 + 3 si fi = a. 



Par exemple elle donne, pour le cas de r=2, ti = 2, n' = i ; T = 2, 



donc fA = I , 



N = 3 7M ( /« — 2 ) {m- -t- 2 77Z — 7 ). 



Si p. est quelconque, les limites, relatives à T, excluent le plus souvent les 

 solutions singulières. 



» Théorème V. — L". nombre des courbes C qui ont un double contact avec 



une courbe fixe tf", et qui satisfont ci 2 autres conditions, est égal 



généralement à 



(e) N = -/n [/«'H- m^[^r — 6j + m (4r^ — i2r — i) — 12 /•+ 3o]. 



» Cette dernière formule peut s'écrire 



N = - 'M ['«('« -4- 2/' — 3) — 2 (.Sw + 6/— i5)J ; 



elle a été donnée en premier lieu, sous cette forme, pour le cas de /-'. = i , 

 par M. Bischoff, professeur à Munich (**). 



» Daiislecasde/Jt, quelconque, elle est généralement exacte si T>'^^^^^^ + 2. 



Elle l'est toujours dans ces limites, s'\ p = i . 



(*) F'oirle beau Mémoire de M. Zeuthen {IVft Bidrag tilLœren om systemeraf heglesnit..., 



P- 11-) 



(**) Journal de Mathématiques de Crellc, t. LVI, p. 166-177, année i858. 



