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 batailles de Bapaume et de Saint-Quentin. Il était nommé capitaine à la 

 fin de cette campagne, dans laquelle il s'était signalé par des actions 

 d'éclat, qui lui valurent l'honneur d'une citation dans le récit du général 

 Faidherbe sur les opérations de l'armée du Nord. 



« En 1872, Halphen se fixe à Paris, où il devient répétiteur à l'Ecole 

 Polytechnique et reprend ses études scientifiques. De tous les travaux de 

 cette partie de sa vie, ceux qui lui ont coûté le plus d'efforts sont relatifs 

 à la théorie célèbre des caractéristiques. A la suite des recherches de M. de 

 Jonquières et de Chasles, l'étude des systèmes algébriques de coniques, 

 dépendant d'un paramètre arbitraire, préoccupait vivement les géomètres. 

 Chasles avait, par induction, trouvé une loi générale faisant connaître 

 le nombre des coniques satisfaisant à une condition donnée. Ce nombre se 

 composait d'une somme de deux termes, chacun de ceux-ci étant un pro- 

 duit de deux facteurs, dont l'iui dépendait seulement du système et l'autre 

 de la condition. Halphen, en même temps que plusieurs autres géomètres 

 éminents, s'efforça de démontrer la loi de Chasles. l\ crut même en avoir 

 trouvé une démonstration; mais, bientôt après, s'apercevant d'une erreur 

 dans ses raisonnements, il fut conduit à soupçonner que la loi était inexacte, 

 et reprit l'étude de la question. Après de longues recherches, il eut la satis- 

 faction d'arriver à la solution complète par une méthode dont on ne peut 

 trop louer l'originalité. On peut faire correspondre uniformément les 

 coniques d'un système aux points d'une courbe algébrique convenable; 

 de même, on fera correspondre à la condition donnée une autre courbe 

 algébrique. C'est la considération de ces deux lignes qui conduit Halphen 

 au résultat cherché. En particulier, pour que l'énoncé de Chasles soit 

 exact, il faut et il suffit que l'une d'elles ne passe pas à l'origine des coor- 

 données. Il en sera toujours ainsi, si le système de coniques ne présente 

 que des singularités ordinaires, c'est-à-dire des singularités qui existent 

 nécessairement dans l'ensemble d'un système et de son corrélatif. Cette 

 distinction entre les singularités ordinaires ou nécessaires et les singula- 

 rités extraordinaires avait été pour Halphen, au début de ces études, un 

 trait de lumière. Elle lui était bien familière dans une autre théorie, dont 

 il s'occupait en même temps, celle des courbes algébriques, à laquelle 

 il consacra de nombreux Mémoires. 



)i Les points singuliers jouent dans l'étude des courbes algébriques un 

 rôle considérable. I^es principes pour la discussion d'une telle courbe dans 

 le voisinage d'un point avaient été établis définitivement par Puiseux. 

 D'autre part, Riemann, dans sa théorie des fonctions abéliennes, avait in- 



